资源描述
1．(2013·江苏高考)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又因为∠A＝∠A，
所以Rt△ADO∽Rt△ACB.
所以＝.
又BC＝2OC＝2OD，
故AC＝2AD.
2．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.
证明：连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B，于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.
所以∠E＝∠C.
3．(2013·云南昆明调研)如图，已知PA与圆O相切于点A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D.求证：
(1)PA＝PD；
(2)AC·AP＝AD·OC.
证明：(1)∵PA与圆O相切于点A，
∴∠PAB＝∠ACB.
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°－∠B.
∵OB⊥OP，∴∠BDO＝90°－∠B，
又∠BDO＝∠PDA，∴∠PAD＝∠PDA＝90°－∠B，
∴PA＝PD.
(2)连接OA，由(1)得，∠PAD＝∠PDA＝∠ACO，
又∠OAC＝∠OCA，∴△PAD∽△OCA，
∴＝，∴AC·AP＝AD·OC.
4．(2013·辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.
证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.
5．(2013·大连市双基测试)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D两点，连接EC，CD.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．
解：(1)证明：连接OC，因为OA＝OB，CA＝CB，所以OC⊥AB.
所以直线AB是⊙O的切线．
(2)因为AB是⊙O的切线，所以∠BCD＝∠CED，又∠B＝∠B，
所以△BCD∽△BEC，所以＝＝，＝2.
因为tan∠CED＝，所以＝4.
因为⊙O的半径为3，
所以BD＝2，OA＝5.
6．如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
(1)求证：∠DEA＝∠DFA；
(2)若∠EBA＝30°，EF＝，EA＝2AC，求AF的长．
解：(1)证明：连接AD，BC.
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝∠EFA＝90°，
故A，D，E，F四点共圆，
所以∠DEA＝∠DFA.
(2)在Rt△EFA和Rt△BCA中，∠EAF＝∠BAC，
所以△EFA∽△BCA，故＝.
在Rt△EFA中，AF2＋EF2＝AE2，
设AF＝a，在Rt△EFB中，EF＝，∠EBA＝30°，
所以BF＝3，则AB＝3－a，
所以a·(3－a)＝(3＋a2)，解得a＝1.
所以AF的长为1.
7.(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，
故△CDB∽△AEF，
所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝ 90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由BD＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
8．(2013·豫东、豫北十校联考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连结CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE.
证明：(1)连接OD.
∵OC∥AD，
∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠1＝∠2.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△DOC≌△BOC，
∴∠ODC＝∠OBC.
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)法一：过点A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB.
∵DE⊥AB，由(1)知CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，∴＝.
在△FAC中，∵DP∥FA，∴＝.
∵FA，FD是⊙O的切线，∴FA＝FD，
∴＝，∴ ＝.
在△ABC中，∵EP∥BC，∴＝.
∵CD，CB是⊙O的切线，∴CB＝CD.
∴＝.
∴＝，∴DP＝EP.
∴点P平分线段DE.
法二：过点A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F.
由(1)及已知条件知BC，CD，AF为⊙O的切线，B，D，A为切点，
∴CB＝CD，FA＝FD.
设CD＝m，FD＝n.
∵DE⊥AB，∴AF∥DE∥BC.
∴＝，＝＝，即PD＝＝，PE＝＝，
∴PD＝PE，因此P点平分线段DE.
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