2023年双曲线知识点总结及经典练习题.doc

圆锥曲线（三）------双曲线
知识点一：双曲线定义
平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
注意：
1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表达双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表达双曲线中靠焦点的一支；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（涉及端点）；
若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.
注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才干得到双曲线的标准方程；
2．在双曲线的两种标准方程中，都有；
3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所相应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.
知识点三：双曲线性质
1、双曲线（a＞0，b＞0）的简朴几何性质

（1） 对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3） 顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
（4）离心率：　
② 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表达，记作。
②由于c＞a＞0，所以双曲线的离心率。　由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表达双曲线开口的大小限度。③等轴双曲线，所以离心率。
（4） 渐近线：通过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，通过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。
双曲线的渐近线求法：(1)已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为
注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.
注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
知识点四：双曲线与的区别和联系
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率

渐近线方程

2、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
巩固练习
1、已知点P(x,y)的坐标满足
，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对
2、求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。

3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。

总结升华：求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要拟定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正负。
4．方程表达双曲线，求实数m的取值范围。

【变式1】k＞9是方程表达双曲线的（ ）
A．充足必要条件 　B．充足不必要条件
C．必要不充足条件 D．既不充足又不必要条件　　
【变式2】求双曲线的焦距。　　
【变式3】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ）
　　A．－2　　　 B．1　　　 C．－1 　　　D．
【变式4】（2023 湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为
　　A．4　　　 B．3 　　　C．2 　　　D．1
5．已知双曲线方程，求渐近线方程。　
（1）；（2）；（3）；（4）

6．根据下列条件，求双曲线方程。（1)与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点。

总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.
【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ）
A、 B、C、 D、
【变式2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是 ( )
A．　B． C．　　D．
【答案】A
【变式3】认为渐近线的双曲线方程不也许是（ ）
　A．4x2―9y2=1 　 B．9y2―4x2=1　
C．4x2―9y2=λ（λ∈R且λ≠0） D．9x2－4y2=λ（λ∈R且λ≠0）
【变式4】双曲线与有相同的（ ）
　A．实轴 　B．焦点 　C．渐近线 　D．以上都不对
7．已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。

8.若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______
9. 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为________
10.已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。