泰州市姜堰区2014-2015年高二上学期中数学(理)试卷及答案.doc

江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二上学期中考试 数学（理）
(考试用时：120分钟 满分160分)
注意事项：
所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.在直角坐标系中，直线的斜率是 ▲ ．
2.圆的半径是 ▲ ．
3.椭圆的焦点坐标为 ▲ ．
4.抛物线的准线方程为 ▲ ．
5.双曲线的渐近线方程是 ▲ ．
6.若圆与圆相外切，则实数 ▲ ．
7.已知点P为直线上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是 ▲ ．
8.若方程表示椭圆，则的取值范围是 ▲ ．
9.已知两圆和相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ▲ ．
10.已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3,2），当取最小值时，点P的坐标为 ▲ ．
11.已知点P是圆C：上任意一点，若点P关于直线的对称点仍在圆C上，则的最小值是 ▲ ．
12.已知O为坐标原点，点，动点P与两点O、A的距离之比为1∶，则P点轨迹方程是 ▲ .
13.设集合，当时，则实数的取值范围是 ▲ ．
14.已知椭圆C：的左、右焦点分别、，过点的直线交椭圆C于两点，若，且，则椭圆C的离心率是 ▲ .
二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分14分）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）．xkb1
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．

17．（本题满分14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标.
250
北
C
P
O
x
y

x k b 1 . c o m

18．（本题满分16分）过点P(–4，4)作直线l与圆O：相交于A、B两点.
（Ⅰ）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为，求弦AB的长；
P
O
A
Q
M
B
x
y
•
•
•
（Ⅲ）若一直线与圆O相切于点Q且与轴的正半轴，轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．

19．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点其焦点F在轴上.
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）求过点F和OA的中点的直线的方程；
x
y
O
A
F
·
·
B
D
P
（Ⅲ）设点,过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB,PF,PD的斜率分别为，求证：．

20.（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为.
⑴求圆M的方程；
⑵当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

2014-2015学年度第一学期期中试卷
高二数学（理科）参考答案
一、填空题
1. 2 2.3 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. x + 3y – 5 =0 10. 11. 18
12. （或） 13. 14.
二、解答题
15. 解：由题意得：（1），解得：，所以………3分
因为所求直线与直线平行，所以，
则所求直线方程为： ………………7分
（2）直线MN所在直线的斜率为： ………………10分
因为所求直线与两点所在直线垂直，所以
则所求直线方程为： ………………14分
16.解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距．
，
∴，， ………………5分
故所求椭圆的标准方程为+； ………………7分
（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6） ………………9分
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
，
∴，， ………………12分
故所求双曲线的标准方程为–． ………………14分
17. 解：圆形道的方程为x2+y2=2500， ………………2分
引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250)， ………………4分
设的方程为，由图可知
又与圆相切，到距离，
解得，
的方程为①， ………………8分
又，
则OP的方程是：② ………………10分
由①②解之得点坐标 ………………13分
∴引伸道在所建坐标系中的方程为，出口P的坐标是
……………………14分
18.解：（1）因为点M是AB的中点，所以OM⊥AB，
则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为，
即； ……………………4分
（2）因为直线l的斜率为，所以直线l的方程是：，
即， ……………………6分
设点O到直线l的距离为d，则，
所以，解得：； ……………………10分
（3）设切点Q的坐标为．则切线斜率为．
所以切线方程为．又，则
……………………12分
此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．……14分
由知当且仅当时，有最大值．
即有最小值．因此点Q的坐标为． ……………………16分
19.解：（Ⅰ）由题意可设抛物线的方程为：，
因为抛物线经过点，所以，解得：，
则抛物线C的标准方程是：； …………………………3分
（Ⅱ）由（1）知：F(1,0)，OA的中点M的坐标为，
则，所以直线FM的方程是：； …………6分
（Ⅲ）当直线的斜率不存在时，则
所以，则；………………8分
当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为
设，则，
同理可得：，所以新*课*标*第*一*网]
=， …………………12分
由方程组消去y，并整理得：，
所以， …………………14分
则，又，所以，
综上所述： ………………………16分
20. 解：（Ⅰ）设P点的坐标为(x, y)，则
因为动点P与A、B连线的斜率之积为，所以，
化简得：，所以点P的轨迹方程为（x≠±4） …………6分[来源:Z*xx*k.Com]
（Ⅱ）（1）由题意知：C(0，– 2)，A(–4，0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3， ……………8分
设M（a, 2a+3）(a>0)，则⊙M的方程为，
因为圆心M到y轴的距离d=a，由，得：，…………10分
所以圆M的方程为。……………………………………11分
（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，
当定直线l的斜率不存在时，不合题意， ……………………12分
当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，
则对任意r>0恒成立，
由，得：
， ………………14分
所以，解得：或，
所以存在两条直线y=3和4x+3y – 9=0与动圆M均相切 ………………16分

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