武汉大学高数期末考试卷2002—2003年第一学期A卷.doc

武汉大学高等数学试卷汇编
2002-2003年第一学期
※※※※※※高等数学（180学时）试题A卷※※※※※※
一．填空题（每小题4分，共20分）
1．若有无穷间断点及可去间断点，则
解：由于为无穷型间断点，故，所以

又为可去型间断点，故存在，
所以，即
2．函数在处的泰勒公式为
解：（法一）直接展开
记，则；；；
……一般地，.

（法二）间接展开
由展开公式

3．若
在处连续，则
解：（等价无穷小代换）；
令 ，得
4．曲线的拐点是
解：；
令 ，得
又因为当时，，曲线是上凸的；而当时，，曲线是下凸的，所以是曲线的拐点.
5．设为常数，则级数的敛散性为
解：记 ，则
（等价无穷小代换）
且收敛，故收敛，所以绝对收敛.
二．计算下列各题（每小题5分，共20分）
1．求极限：
解：
2．求极限：
解：
其中 （等价无穷小代换）（洛必达）

3．设求
解：.
4．设求其中具有二阶导数且
解：
（一）；

（二）
三．计算下列各题（每小题6分，共18分）
1．求

2．求
解：

3．求

四．（8分）设可微函数由方程确定，试讨论并求出的极大值和极小值.
解： 方程 ①
两边对求导，得 ②
令 ，代入②，则有解得 或
将代入①，得
（注意到）；
将代入①，得
所以函数有两个驻点
②式两边关于再求导，得
将，，代入，有，
故为函数的极大值；
将，，代入，有，
故为函数的极小值.
五．（8分）判别级数的敛散性.
解：记
则因为 ，故级数收敛
六．（10分）曲线与直线相交于原点和点，垂直于轴且垂足为.
（1）曲线分为两部分，证明：与的面积相等.
（2）图形分别绕轴旋转的旋转体的体积比是多少？
解：（1）联立解得或 故
； 所以
（2）；
所以
七．（10分）设函数在上连续且大于0，
（1） 求 (2)证明：在上连续.
解：（1）当时， ；
（洛必达法则）

其中 （洛必达法则）
所以

（2）显然当时，连续；
又因为
（其中：（洛必达））
（2） 故当时，也连续.所以，在上连续.
八．（6分）设在上连续，在内可导，且，对任意，有，证明：存在，使 （是自然数）.
证明：令.则
在上连续，在内可导，且故在上满足罗尔定理的条件.由罗尔定理知，存在，使
，即
亦即

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