2014-2015年选修2-1-3课时提升作业(二十三)-3.1.4.doc

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课时提升作业(二十三)
空间向量的正交分解及其坐标表示

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(　　) xKb 1 .Com
A.a　　　　B.b　　　　C.a+2b　　　　D.a+2c
【解析】选D.能与p,q构成基底,则与p,q不共面.因为a=,b=,a+2b=p-q,所以A,B,C都不合题意.因为{a,b,c}为基底,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底.
2.(2014·济宁高二检测)设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1.若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)
A.　 B.
C.　 D.
【解析】选A.因为==(+)
=+×
=+[(-)+(-)]
=++,
而=x+y+z,
所以x=,y=,z=.
3.(2014·成都高二检测)若向量,,的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量,,成为空间一个基底的关系是(　　)
A.=++
B.=+
C.=++
D.=2-
【解析】选C.对于选项A,由结论=x+y+z(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点共面知,,,共面;对于B,D选项,易知,,共面,故只有选项C中,,不共面.
4.(2014·兰州高二检测)已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标为(　　)
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,10,12) D.(4,2,3)
【解析】选A.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,
所以点A在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).
5.(2014·西安高二检测)已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为(　　)
A.a+b+c B.a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c

【解析】选C.如图所示,连接ON,AN,
则=(+)
=(b+c),新 课 标 第 一 网
=(+)
=(-2+)
=(-2a+b+c)X K B 1.C O M
=-a+b+c,
所以=(+)=-a+b+c.
【变式训练】如图所示,空间四边形OABC中,G是△ABC的重心,D为BC的中点,H为OD的中点.设=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量.

【解析】=-.
因为==(+)=(b+c),
=+=+=+(-)
=+×(+)=a+(b+c),
所以=(b+c)-a-(b+c)=-a+b+c,即=-a+b+c.
6.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为(　　)
A.,-1,-　 B.1,2,3
C.1,1,1　　 D.1,-1,1
【解析】选A.因为d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3,
所以解得
【拓展延伸】用基底表示向量的三个关注点
(1)若a,b,c不共面,则对空间任一向量p=xa+yb+zc,(x,y,z)是惟一的.
(2)用基底表示向量,可从要表示的向量入手,运用向量线性运算的法则,结合图形逐步向基向量转化.
(3)求a在单位正交基底下的坐标,关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系,将a表示为a=xe1+ye2+ze3.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·南昌高二检测)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别是　　　　　　.
【解析】a的坐标为(2,-4,5),b的坐标为(1,2,-3).
答案:(2,-4,5),(1,2,-3)
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则=　　　　.

【解析】2=2+2+2
=(+)+(+)+(+)
=++,
所以=(++).
答案:(++)
9.(2014·长春高二检测)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则=　　　　(用a,b,c表示).

【解析】=+
=+(+)
=+(+-)
=c+(a+b-c)
=a+b.
答案:a+b
【一题多解】在三角形B1DC中,因为E为B1C的中点,利用平行四边形法则有=(+),
=+=+=+=c+a,
=+=+=-c+b.
所以
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·安庆高二检测)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体顶点A1,B1,C1,D1的坐标.

【解析】设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.因为底面正方形的中心为O,边长为2,所以OB=.
由于点B在x轴的正半轴上,
所以=i,
即点B的坐标为(,0,0).
同理可得C(0,,0),D(-,0,0),
A(0,-,0).
又=+=i+2k,
所以=(,0,2).
即点B1的坐标为(,0,2).
同理可得C1(0,,2),D1(-,0,2),A1(0,-,2).
11.如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,=a,=b,=c,P是
CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ∶QA′=4∶1,
用基底{a,b,c}表示以下向量:

(1).(2).(3).(4).
【解题指南】利用空间图形中的平面图形如三角形、平行四边形建立目标向量与已知向量间的关系.
【解析】连接AC,AD′.
(1)=(+)=(++)
=(a+b+c).x k b 1 . c o m
(2)=(+)=(+2+)
=(a+2b+c).
(3)=(+)
=[(++)+(+)]
=(+2+2)=a+b+c.
(4)=+
=+(-)=+
=++=a+b+c.
【变式训练】(2014·牡丹江高二检测)如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,点E是上底面A′B′C′D′的中心,分别取向量,,为基向量,若
(1)=x+y+z,试确定x,y,z的值.
(2)=x+y+z,试确定x,y,z的值.

【解析】(1)因为=+=++=-++,又=x+y+z,所以x=1,y=-1,z=1.
(2)因为=+=+
=+(+)
=++=++,
又=x+y+z,
所以x=,y=,z=1.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·南宁高二检测)有以下命题:
①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;
②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,则点O,A,B,C一定共面;
③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.
其中正确的命题是(　　)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】选C.①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是共线的;如果a,b有一个向量为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底,所以①不正确.
②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面,这是正确的.
③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底;因为三个向量非零且不共线,正确.故选C.
2.(2014·广州高二检测)在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,则有(　　)
A.=(++)
B.=(++)
C.=(++)
D.=++
【解析】选B.=+=+(+)=+(-)+(-) =(++).
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=c,=b,则下列向量与相等的是(　　) 新|课 |标 |第 | 一| 网
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b+c
D.a-b+c
【解析】选A.=+=+(+)=+(+)=(-a+b)+c
=-a+b+c.
4.(2014·泰安高二检测)已知向量{a,b,c}是空间的一基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选B.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以解得
故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
【举一反三】若把题目中的“基底{a,b,c}”与“基底{a+b,a-b,c}”互换,结果如何? http://ww w.xkb1. com
【解析】设p在基底{a,b,c}下的坐标为(x,y,z),由向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(1,2,3),得p=(a+b)+2(a-b)+3c=3a-b+3c=xa+yb+zc,所以
故p在基底{a,b,c}下的坐标为(3,-1,3).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·福州高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=　　　　.
【解析】如图所示,有=++=++(-1).

又因为=x+2y+3z,
所以解得w w w .x k b 1.c o m
所以x+y+z=1+-=.新 课 标 第 一 网
答案:
6.设a,b,c是三个不共面的向量,现从①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b-c中选出一个,使其与a,b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量有　 .
【解题指南】判断a,b,c可否作为空间的一个基底,即判断a,b,c是否共面,若不共面则可以作为基底,否则不能作为基底,实际判断时,假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理建立λ,μ的方程组,若有解则共面,否则不共面.
【解析】a+b,a-b均与a,b共面.事实上以a,b为邻边作平行四边形OACB,令=a,=b,=a+b,=a-b,而共面向量不可以作为空间向量的基底.x k b 1 . c o m
答案:③④⑤
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).

(1)试求向量的坐标.
(2)求证:EF∥BD1.
【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量,,从而使问题得解.
【解析】(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,根据题意知{,,}为单位正交基底,设=i,=j,=k,所以向量可用单位正交基底{i,j,k}表示,因为=++,与共线,与共线,所以设=λ,=
μ,则=λ++μ=λ(+)++μ(-)=(λ+μ)+(1-μ)+λ
=(λ+μ)i+(1-μ)j+λk,
因为EF⊥A1D,EF⊥AC,即⊥,⊥,
所以·=0,·=0,
又=-i-k,=-i+j,
所以,
整理得即
解得所以=i+j-k
所以的坐标是(,,-).
(2)因为=+=-i-j+k,
所以=-,即与共线,
又EF与BD1无公共点,所以EF∥BD1.
8.(2013·吉林高二检测)已知{i,j,k}是空间的一个基底,设a1=2i-j+k, a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k.试问是否存在实数λ,μ,υ,使a4=λa1+
μa2+υa3成立?如果存在,求出λ,μ,υ的值,如果不存在,请给出证明.
【解析】假设存在实数λ,μ,υ使a4=λa1+μa2+υa3成立,则有3i+2j+5k=
λ(2i-j+k)+μ(i+3j-2k)+υ(-2i+j-3k)
=(2λ+μ-2υ)i+(-λ+3μ+υ)j+(λ-2μ-3υ)k.
因为{i,j,k}是一个基底,
所以i,j,k不共面,
所以解得
故存在λ=-2,μ=1,υ=-3使结论成立.
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