第30届WMO融合创新讨论大会复赛九年级试卷答案.docx

第 30 届 融合创新讨论大会
九年级试卷（省测）参考答案

一、选择题

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
D
D
A
C
A
D

1.D
解析：∵3b=15=3×5=3×3a=31+a，
∴b=1+a,
∴a=b-1，
∵3c=45=3×15=3×31+a=32+a，
∴c=2+a,
∴c=b+1，
①a－c=b－1－b－1=－2,故此结论错误；
②a＋b+c=b-1+b+b+1=3b，故此结论正确；
③a2 － b2=（a＋b）（a－b）=-(2b-1)=1-2b，3-2c=3-2(b+1)=1-2b，故此结论正确；
④b2-ac=（1+a）2-a（2+a）

=1+a2+2a-2a-a2

=1，故此结论正确； 故正确的有：②③④．

2 / 14

2.A

解析：化简

2x2 + x -11 = A + B + C

x（2 x +1） x x2 x +1 得

2x2 + x -11 = Ax2 + Ax + Bx + B + Cx2 =（A + C）x2 +（A + B）x + B

x（2
x +1）
ìA + C = 2
í
î
ïA + B = 1
x（2
x +1）
ìC = -10
í
ïA = 12
x（2
x +1） ，

î
对比得ïB = -11

A + B - C
所以
，则ïB = -11
11
= .

3.B
解析：如图：
当点 B 在（ 3， 0） 点或（ 4， 0） 点时， △AOB 内部（ 不包括边界） 的整点为（ 1， 1）（ 1， 2）（ 2， 1）， 共三个点，
所以当 m=3 时， 点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4；
当点 B 的横坐标为 8 时， n=2 时， △AOB 内部（ 不包括边界） 的整点个数 m= =9，
当点 B 的横坐标为 12 时，n=3 时，△AOB 内部（ 不包括边界）的整点个

数 m= =15，
所以当点 B 的横坐标为 4n（ n 为正整数）时，m= =6n-3；

4.C

3
7
9 + - 2 - 1+ 21+12 3
3

3
7
9 + - 2 - 1+ （2 3 + 3）2
= 3
3
7
9 + - 2 - 1+ 2 3 + 3
= 3
= 3 9 + 3 - 2 7 -（1+ 3）
3
7
9 + - 2 - （1+ 3）2
解析： = 3
= 3
= 3（ 7 -1）2

8 - 2 7
7
= 3 - 3

5.D
解析：3a3（x2-1）-3b3（x2-1）
=3（x2-1）（a3-b3）
=3（x+1）（x-1）（a-b）（a2+ab+b2）
因为 x+1 对应的密码是开，x-1 对应的密码是动，a-b 对应的密码是脑，a2+ab+b2对应的密码是筋，而 3 是常数，它对应的密码是爱，所以合起来的密码信息可能是爱开动脑筋。

6.D
解析：设切下一个三角形后多边形的边数 x, 由题意得，（x-2）•180°=1080°，
解得 x=8，
8-1=7，8+1=9，或 n=x=8．

3 / 14

7.A


ì12a + b = -2


í
ìa = -1

- ax2 + 2b x + 2b

解：根据题意可得： í
î5a + 2b = 15
，解得
îb = 10 ，则方程
5 5 可化

为 x2 + 4x + 4 = 0 ，解得 x=－2.

8.C

ì7x + 9 y = a + 3
解析：由题可得： í

， 消去 a 得

4 / 14

î（5 x +1）+ （6 y -1）= a - 7
x= 4 + 1- 3y ． y= 3 - 2x ．

2 3
ìx = 0

ìx = 3

î
或 î
，
因为 x、y 都是整数，所以í y = 3
í y = 1

则 a=3× 9－ 3=24mm 或 3× 7+9－ 3=27mm。

9.A
解析：延长 BD 交 AC 于点 H． 设 AD 交 BE 于点 O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°， ∠H+∠HAD=90°，
∵∠BAD=∠HAD，
∴∠ABD=∠H，
∴AB=AH， ∵AD⊥BH，
∴BD=DH，
∵DC=CA，
∴∠CDA=∠CAD，
∵∠CAD+∠H=90°， ∠CDA+∠CDH=90°，
∴∠CDH=∠H，
∴CD=CH=AC，
∵AE=EC，

1
∴S△ABE=
4
1
S△ABH， S△CDH=
4
S△ABH，

∵S△OBD-S△AOE=S△ADB-S△ABE=S△ADH-S△CDH=S△ACD，

∵AC=CD=a，
∴当 DC⊥AC 时， △ACD 的面积最大， 最大面积为 1 a2 .
2

10.D
解析：如图， 连接 OB， 过点 O 作 OD⊥BC， OE⊥AB 于点 D， E，

∵点 O 为△ABC 的内心，即为三角形 ABC 内切圆圆心，故④的判断错误；
∴OB 是∠ABC 的平分线，
∴OD=OE，
í
ìON＝OM
在 Rt△ODN 和 Rt△OEM 中，
îOD＝OE ,
∴Rt△ODN≌Rt△OEM（ HL），
∴∠DON=∠EOM，
∴∠MON=∠DOE，
∵∠ABC=60°，
∴∠DOE=120°，
∵∠MON=120°，
当作点 N 关于 OD 的对称点 N′， 连接 ON′， 此时 OM=ON′， 但是，
∠MON′≠120°，
所以， 故①的判断不一定正确；
∵△DON≌△EOM，
∴四边形 OMBN 的面积=2S△BOD，
∵点 D 的位置固定，
∴四边形 OMBN 的面积是定值，
∵∠B=60°， BC≠AB，
∴△ABC 的形状不固定， 三角形的面积也不固定， 故②的判断错误； 如图， 过点 O 作 OF⊥MN 于点 F，

∵ON=OM， ∠MON=120°，
∴∠ONM=30°，

5 / 14

3
∴MN=2NF=2ONcos∠ONM= ON，

6 / 14

3
∴△MON 的周长=MN+2ON=
ON+2ON=（
+2） ON，

3
∴当 ON 最小时， 即当 ON⊥BC 时， △MON 的周长取得最小值， 此时， Rt△OBN≌Rt△OBM（ HL）
∴BN=BM，
∵∠B=60°，
∴△BMN 是等边三角形，
∴BN=MN，
∴当 MN=BN 时， △MON 的周长有最小值， 故③的判断正确． 综上所述： 说法正确的是③．

5
二、填空题11. ± 21
解析：因为a + 1 = -3，两边平方得 a2 + 1
a a2


= 7 ，

再两边平方得 a4 + 1
a4
= 47

所以 a4 - 1 =（a2 + 1 ）（a + 1）（a - 1）= -2（1 a - 1）。
a4 a2 a a a

因为（a - 1）2 = a2 + 1
5
a a2
- 2 = 5 ，则 a - 1 = ±
5
a

所以 a4 - 1
a4
= ±21

12. x = -7

解析：
1 + 1 + 1


+L+ 1

= 1 - 1

（
-
（x - 2）（x +1）（x +1）（x + 4）（x + 4）（x + 7）
（x + 25）（x + 28）
3x - 6 63

1 1
化简得 （

1 ）= 1 1 - 1 ）

3 x - 2
x + 28 3 x - 2 21

则 1 =
x + 28
1 ，解得 x = -7 。
21

13.
1

解析：

如图所示， 设直线 OA 为 y=ax,则由点 A（ 1， 3）， 可得 3=a,
又∵平移后的直线两侧的格点数相同，
∴平移后的直线过点 B（ 3， 6）、C（ 2， 3）， 设直线 BC 的解析式为 y=3x+b,则
由 B（ 3， 6）， 可得 6=9+b,
解得 b=-3，
∴直线 BC 的解析式为 y=3x-3， 令 y=0， 则 x=1，
即直线 BC 与 x 轴的交点是（ 1， 0）， 其与原点的距离是 1.
∴k 的值为 1。

14. 16 或 17
解析： 由题意得： 5， 6， 11+16， 5+6＜ 11+16， 不能组成三角形；
5+6， 11， 16， 5+6+11＞ 16， 能组成三角形；
5， 6+11， 16， 5+16＞ 6+11， 能组成三角形；
6， 11， 16+5， 6+11＜ 16+5， 不能组成三角形； 得到的三角形的最长边的长度为 16 或 17.

7 / 14

15.
2

：
解析 如图，将圆筒展开后成为一个矩形，整个油纸也随之
分成相等 4 段只需求出 AC 长即可， 在 Rt△ABC 中，
∵AB=40， BC= 120 =30cm,
4
∴AC2=AB2+BC2=402+302，
∴AC=50cm,
∴最短需裁剪油纸 50×4=200（ cm） =2m．

7
16. 4
解析：过点 C 作 CG⊥AH 于 G， 如图：
设∠AED=∠ABE=α， 则∠BAE=180°-2α，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°， ∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=45°+α，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=45°；
∴∠FEH=45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE=∠FEH=45°，
∴EF=FH，
又∵∠EFH=90°，

8 / 14

2
∴EH= EF，
∵∠FHE=45°， CG⊥FH，
∴∠GCH=∠FHE=45°，
∴GC=GH，

2
∴CH= CG，
∵∠BAC=∠CGA=90°，
∴∠BAF+∠CAG=90°， ∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠BAF=∠ACG，
又 AB=AC， ∠AFB=∠AGC，
∴△AFB≌△CGA（ AAS），
∴AF=CG，

2
∴CH= AF，
在 Rt△AEF 中， AE2=AF2+EF2，

2
2
∴（ AF） 2+（ EF） 2=2AE2，
∴EH2+CH2=2AB2，
∵AB=8， CH=4，
7
∴EH=4 ．

三、解答题

17. （1）－95； （2） 29 ＜m＜59
16 32
解析：（1）若 x☆2y=12，3☆y=2x，则
ì 2 - 2 y = 12 ì 5

9 / 14

ï 3x -1
ì36x + 2 y = 14
ïx =

í 2 - y
，整理得í
+ y = 2
，解得í 2 ，

î
ï 9 -1
= 2x
î16x
ïî y = -38

则 xy= 5 ´ -38 =－95。
2

（2）由题意得 4m＜
2 - x

9 -1
＜8，则-62 ＜x＜ 2 - 32m ，因为解集中恰有 5 个整数解，所以

x=-61、-60、-59、-58、-57，所以-57＜2 - 32m＜-56 ，解得 29 ＜m＜ 59 。
16 32

18. 直角三角形解析：
AB、BC、BD 三边能组成直角三角形．
理由如下： 以 BC 为边作等边△BCE， 连接 AE、AC． 如图所示．
∵∠ABC=30°， ∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°，
∴AB2+BE2=AE2①，

11 / 14

∵ 1 AD2－AD×DC+ 1
2 2
DC2=0，

∴（ AD－DC）2=0
∴AD=DC，
∵∠ADC=60°，
∴△ADC 是等边三角形，
在△DCB 和△ACE 中， DC=AC，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE，
又∵BC=CE，
∴△DCB≌△ACE，
∴BD=AE，
∵BC=BE，
由①式， 可得 BD2=AB2+BC2．
∴AB、BC、BD 三边能组成直角三角形．

19. （1）A 种面值为 5 元, B 种面值为 20 元；
(2) 37；
(3) 3 种， A 型 13 枚 B 型 37 枚。
解析：（ 1）设每枚 A 种型号的纪念币面值为 x 元，每枚 B 种型号的纪念币面值为 y 元，

ì4x + 3y = 80
由题意得： í
î5x + 6 y = 145
ìx = 5
î
， 解得： í y = 20 ，

答： 每枚 A 种型号的纪念币面值为 5 元， 每枚 B 种型号的纪念币面值为
20 元；
（2） ） 设 B 型纪念币能采购 m 枚， 则 A 型纪念币能采购（ 50-m） 枚，由题意得： 20m+5（ 50-m） ≥800，
解得： m≥36 2 ，
3
因为 m 为整数，所以 m 最少是 37.
答： B 型纪念币最少要采购 37 枚；
（ 3） 由题意得： 37≤m≤39，
∵m 为正整数，
∴m 为 37 或 38 或 39，

∴共有 3 种购买方案：
①B 型纪念币能采购 37 枚， A 型纪念币能采购 13 枚， 费用为：
5×13+20×37=805（ 元）；
②B 型纪念币能采购 38 枚， A 型纪念币能采购 12 枚， 费用为：
5×12+20×38=820（ 元）；
③B 型纪念币能采购 39 枚， A 型纪念币能采购 11 枚， 费用为：
5×11+20×39=835（ 元）；
∵835＞ 820＞ 805，
∴最划算的购买方案为：A 型纪念币能采购 13 枚，B 型纪念币能采购 37
枚。

20.
- 6 或 -
2
6
2
3

解析：∵ l 弧 AC∶ C 圆 O=1∶ 4，
∴C 是半圆弧的中点，
∴AC=BC， 且∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵⊙O 的半径为 1cm，
∴AB=2，

2
∴AC=BC= ，
当弧 AP= 1 弧 AC，
3
∴∠PBA=15°，
∴∠PBC=30°， 且∠ACB=90°，

∴EC= 6 ，
3

∴AE=AC-EC=
- 6 ，
2
3

当弧 AP= 2 弧 AC，
3
如图 2， 过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，

∵弧 AP= 2 弧 AC，
3
∴∠ABP=30°，
∴∠CBP=15°，
3
∴BH= EH，
∵∠CAB=45°， EH⊥AB，
∴∠AEH=∠EAH=45°，

2
∴AH=EH， AE= EH，

3
∵AB=AH+BH=EH+ EH=2，

3
∴EH= -1，

6
2
∴AE= - ，

13 / 14

综上所述： AE=
- 6 或 - 。
2
6
2
3

3
21. （ 1） A（ 3， 0）、B（ 3， 3）、C（ 0， 3）、D（ 0， ）；
（ 2） 略；
3
3
3
（ 3） 存在；（-3， 0） 或（ 0， 3 ） 或（ 0，- ） 或

3
（ 1， 0） 或（ 3+2
， 0） 或（ 3-2
， 0）

解析：（ 1） ∵ a2 + b2 - 6a - 2 3b = -12

整理得（a - 3）2 +（b -
3）2 = 0 ，

3
∴a=3， b= ，

3
∴A（ 3， 0）、B（ 3， 3）、C（ 0， 3）、D（ 0， ）；
（ 2）
由（ 1） 可得四边形 ABCD 是正方形。
如图 1， 在 CO 的延长线上找一点 F， 使 OF=BE， 连接 AF，
ìAO＝AB
í
在△AOF 和△ABE 中，ï∠ AOF＝ÐABE = 90O ，
î
ïOF＝EB
∴△AOF≌△ABE（ SAS），

∴AF=AE， ∠OAF=∠BAE，
又∵∠OAB=90°， ∠DAE= 1 ∠OAB＝ 45°，
2
∴∠BAE+∠DAO=45°，
∴∠DAF=∠OAF+∠DAO=45°，
∴∠DAF=∠EAD，
ìAF＝AE
í
在△AFD 和△AED 中， ï∠ DAF＝ÐDAE = 45o ，
î
ïAD＝AD
∴△AFD≌△AED（ SAS），
∴DF=DE=OD+EB；

（3） ） 有 3 种情况共 6 个点：
①当 DA=DP 时， 如图 2，
3
Rt△ADO 中， OD= ， OA=3，

OD2 + OA2
3
3
∴AD= =2 ，

3
∴M1（-3， 0）， M2（ 0， 3
②当 AM4=DM4 时， 如图 3，
）， M3（ 0，- ）；

∴∠ADM4=∠DAM4=30°，
∴∠OM4D=60°，
3
Rt△ODM4 中， ∠ODM4=30°， OD= ，
∴OM4=1，
∴M4（ 1， 0）；
③当 AD=AM 时， 如图 4，

3
3
∴AD=AM5=AM6=2 ，

14 / 14

3
∴M5（ 3+2
， 0）， M6（ 3-2
， 0），

3
3
3
综上， 点 M 的坐标为： ∴M（-3， 0） 或（ 0， 3 ） 或（ 0，- ） 或

3
（ 1， 0） 或（ 3+2
， 0） 或（ 3-2
， 0）．