资源描述
第10计 聋子开门 慧眼识钟
●计名释义
一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.
上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？
其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.
聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.
为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.
●典例示范
【例1】 若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+ax2008(x∈R), 则
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)
【思考】 显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.
【点评】 本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.
【例2】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；④函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .
【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.
【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.
【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).
【解答】 由y(2x)2-y·2x-1=0.
关于2x的方程中，恒有Δ=y2+4>0. ∴y∈R ①真.
∵y1=2x, y2=都是R上的增函数，∴y=y1+y2=2x-2也是R上的增函数，②真.
∵f (-x)=2-2x = -(2x-2)=-f (x),
∴当x∈R时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) ③真.
【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.
正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.
本例是“全选”（即“都是”）的题型.
●对应训练
1.设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,…),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,…,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .
●参考答案
1.椭圆中：a=, b=, c=1.
∴e =,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|=(7-xi), 其中右准线x=7.
∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d. ∴d=
∵|x1-xn|≤2, ∴|d|≤. 已知n≥21, ∴|d|≤, 但d≠0.
∴d∈［-，0)∪(0，］.
点评：本题有两处陷沟，一是d≠0, 二是可以d<0, 解题时考生切勿疏忽.
第11计 耗子开门 就地打洞
●计名释义
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.
庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.
●典例示范
【例1】 已知f (x)=，判定其单调区间.
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.
【解答】 设x1<x2，f (x1)-f (x2)= - .
【插语】 x1，x2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”.
【续解】 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]
=
易知=△>0.
故有原式=<0.
故f (x)= 的增区间为（-∞,+∞).
【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.
【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P (ξ=2)=，故ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
P
（Ⅱ）ξ的数学期望是：
Eξ=0×+1×+2×=1.
(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=.
【例3】 （04·上海，20文）如图
，直线y=x与抛物线y=x2 - 4交于
A、B两点，线段AB的垂直平分线与
直线y= -5交于点Q.
(1)求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于AB下方
（含点A、B）的动点时，
求△OPQ的面积的最大值.
【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图
思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.
【解答】 （1）由
设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=x0=1.
故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).
(2)由（1）知|OQ|=5为定值.
设P(x，x2-2)为抛物线上上一点，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：
x+y=0，点P到直线OQ的距离：
d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠4-4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6.
∴(S△POQ)max =·|OQ|·dmax=·5·6=30.
【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA·tanC的值.
【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.
不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，
则有：sinα+sinγ=sinβ，
即sin2A+sin2C=2sin2B.
2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.
3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.
【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.
●对应训练
1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在
棱CC1上，且CC1= 4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所
成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的
射影是H，求证：D1H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图
2.证明不等式： (n∈N+).
3.设x∈，f (x)=，求f (x)的最大值与最小值.
4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=的最小值.
●参考答案
1.建立如图的空间直角坐标系，有：
A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1.
∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵=
∴tan∠APB=.
∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan.
(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.
∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,
∴·=-16+16+0=0.
即⊥，也就是⊥. 第1题解图
已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，
∵S△ADQ =||·||=]||·||.
即：4·||= 4×3，∴||=.
已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为.
点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.
2.只须证
右式=
=
=.
∴成立，从而1+
3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+.
当x∈时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,
［f(x)］min =，当x=时,［f (x)］max =-.
4.注意到，同理：，，
∴u≥=8.
第12计 小刀开门 切口启封
●计名释义
西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.
一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.
数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.
●典例示范
【例1】 已知5sinβ=sin(2α+β)，求证：
【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了这个数，试一试，就打的主意！
【解答】 化条件为考察结论的右式与的数量关系知，那么由合分比定理能使问题获得解决，即
而左端分子、分母分别进行和差化积即为于是等式成立.
【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.
【例2】 设m为正整数, 方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x为未知量)至少有一个整数根, 求m的值.
【分析】 若根据求根公式得到x=, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了.
【解答】 原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,
即m=,
【插语】 m是本题的破题小刀，因为所给方程中m的最高次数是1，使得问题简化了.
【续解】 由于x为整数且m为正整数, 则x≠-2且≥1,得-3≤x≤1,于是x=-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m值为1或5,即m=1或m=5时,原方程至少有一个整数根.
【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.
【例3】 设函数f (x)=x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0, 试判断f (n+1)的符号.
【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.
【解答】 因为f (n)<0，所以函数
f (x)=x2+x+a的图像与与x轴有2个
相异交点，如图所示，设横坐标为
x1、x2且x1<x2，方程x2+x+a=0
有2个不等的实根x1、x2，
则
所以-1<x1<n<x2<0, 从而n+1>0, 例3题图
于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0).
【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.
【例4】 过抛物线y2=2px的顶点O作2条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点.
【解答】 因为OA⊥OB，所以OA与OB的斜率成负倒数关系.
设OA的斜率为k，将OA的方程：y=kx代入抛物线y2=2px中，求得A点坐标为,将OB方程代入抛物线方程求B点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以置换A点坐标中的k, 即得B点坐标为(2pk2, -2pk).
因而lAB：y=
故直线AB过定点(2p, 0).容易验证，斜率k=±1时，结论也成立.
【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.
【例5】 已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求证:x2+y2+z2≥
【解答】 运用均值代换法.令x=, 则α+β+γ=0, 所以
x2+y2+z2=
(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z=时“=”成立).
【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.
●对应训练
1.已知M是椭圆上的动点，椭圆内有一定点A(-2,), F是椭圆的右焦点，试求|MA|+2|MF|的最小值，并求这时点M的坐标.
2.已知函数f (x)=-ax, 其中a>0. 求a的取值范围，使函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调函数.
3.如图所示，已知梯形
ABCD中|AB|=2|CD|,
点E分有向线段
所成的比为λ，双曲线过
C,D,E三点，且以A，B为
焦点.当时，求双曲线离心率e的取值范围. 第3题图
4.已知a、b>0,并且a+b=1,求证：
5．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到此面的距离为a，求这个三棱柱的体积.
第5题图
●参考答案
1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可
为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率
与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系，
作MB垂直于右准线l，垂足为B，
如图所示.则
即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1题解图
易知点M在线段AB上时，|MA|+2|MF|取最小值8，这时点M的坐标为（2）.
2.解析 探究a的值，应倒过来思考.
设x1<x2, 且x1、x2∈［0,+∞),f (x1) - f (x2)= (x1-x2)·
因为所以
得. 注意到x1-x2<0, 所以只要a≥1，就有f (x1)-f (x2)>0. 即a≥1时，函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0<a<1时，f (x)在区间［0,+∞)上不是单调函
点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.
3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了.
事实上，由图形的对称性，可设直线AB为x轴，AB得中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
注意到|AB|=2|CD|，设OC=依题意记A(-c,0)，C, E(x0, y0).
由定比分点坐标公式得
设双曲线方程为将点C，E坐标代入方程，得 ①
②
将①代入②且用e代入，得e2=
又由题设可知e2∈［7, 10］， 所以离心率e的范围是
点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感.
4.解析 容易估计a=b=时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法.
构造
同理
两式相乘
注意到ab≤所以≥4, 故(a+)(b+)≥(当且仅当a=b=时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.
点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.
5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于aS.很明显三棱柱ABC—A1B1C1与三棱柱ACD—A1C1D1体积相等.所以三棱柱ABC—A1B1C1的体积等于
用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.
点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.
第13计 钥匙开门 各归各用
●计名释义
开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑.
所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.
数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.
定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说。
●典例示范
【例1】 F1、F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=2c, 椭圆上的点P（x, y)到F1（-c, 0), F2 (c, 0)的距离之和为2a. 求证：|PF1|=|PF2|=
【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程却有b无c，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.
【解答】 对|PF1| 和 |PF2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2的方程组
②-③消y2, x2和c2得 rr ④
①，④联立，解得 故|PF1|= |PF2|=
【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.
【例2】 设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb, 求使成立的b的取值范围.
【思考】 应首先分清{an}是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题.
【解答】 a1=1+a1lgb, 若lgb=0, 即b =1时， a1=S1=1与矛盾.
∴b≠1,于是a1= 而an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).
∴an(1-lgb)=-an-1lgb, =为常数，{an}是首项为公比q=的无穷递缩等比数列(已知存在)，∴q=∈(-1,0)∪(0,1).
由>-1, 即>0, 得lgb<或lgb>1,
又<00<lgb<1,于是0<lgb< ∴b∈(1,) ①
由0<<1 ∴b∈(0, 1)] ②
综合①、②，取并集，所求b的取值范围为b∈(0，1)∪(1,).
【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).
(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；
(2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60
,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.
【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有
关计算公式也无法准确解题，例如：
(1)随机事件A发生的概率0≤P(A)≤1, 其计算方法为P (A)=, 其中m ，n分别表示
事件A发生的次数和基本事件总数；
(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与必有一个发生，故A与既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P（）=1；
(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;
(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.
【解答】 (1)基本事件总数n=C=35, 设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件 ={任取3球，全是白球}.
∵A与为对立事件，而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能).
∴P()=,于是P (A)=1-P ()=
即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为
(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),∴P (ξ=50)=
ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)=
ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)=
ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)=
于是ξ的分布列为：
ξ
50
60
70
80
P
∴Dξ=50×+60×+70×+80×=(元).
即该顾客获奖的期望是≈63(元).
●对应训练
1M为双曲线上任意一点， F1为左焦点， 求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.
2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相
切.
3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:
(1)E(aξ+b)=aEξ+b; (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.
4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.
●参考答案
1如图所示，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,∵|PO|=|MF2|(中位线性质）
∴|PF1| - |PO|=(|MF1| - |MF2|)=·2a= a,
即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.
2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF1为焦半径，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.
则|OP|=|MF2|=(2a-|MF1|)= a-r
∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
第1题解图 第2题解图
3．（1）∵Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn,
∴E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+…+xn pn)+b(p1+p2+…+pn)
= aEξ+b (∵p1+p2+…+pn=1).
（2）Dξ=(x1 - Eξ)2·p1+(x2 - Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…
=（xp1+xp2+…+xpn+…）-2Eξ(x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…)+E2ξ(p1+p2+…+pn+…)
=Eξ2-2Eξ·Eξ+E2ξ·1=Eξ2 - E2ξ.
4如图所示，抛物线焦点F，
准线l:x=,作MH⊥l于H，FM中点
为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ⊥y
轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线.
∴|PQ|=
∴以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图
第14计 鲜花开门 情有独钟
●计名释义
冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？
数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？
●典例示范
【例1】 P点在平面内作匀速直线运动，
速度向量v=(4,-3).(P点沿v方向运动，每秒
移动的距离是|v|）.开始时P（-10，10），
求5秒后P点的位置.
【分析】 本质是对P点运动的速度向量
v=（4，3）的理解：因为P点按匀速直线
运动，每秒位移是5.从速度分解观点看，
每秒P向右移4，向下移3.
【解答】 5秒P向右移20，下移15，
设P点5秒后到P′（x, y).
x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以P′（10，-5）. 例1题图
【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.
【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找=5v=(20,-15), 再求=+
当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数.
【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y=+1(x≥1)的反函数是 ( )
A．y=x2-2x+2 (x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1)
C．y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x≥1)
【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x≥1时，y≥1.∴反函数的定义域为x≥1，排除A、C.∵点（5，3）在f (x)的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x)的图象上，而点（3，5）适合B，不适合D,∴选B.
【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称”等特点，前呼后拥.
【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )
A． B. C. D.
【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：（1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.∵
故故否定A；当a,b异号时，否定C；当sinx<0时，亦有<0,否定D； ∴选B.
【点评】 可用直接法证明，∵存在且在分母中出现，∴ab>0.又a+b+2=(a+1)+(b+1)≥2，∴≥2. 当且仅当a=b=1时
【例4】 已知四边形ABCD
为矩形且AB≠BC, PA⊥平面ABCD, 连接
AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量
积不为零的是 ( )
A． B.
C. D. 例4题图
【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.
同理,C. ∵PA⊥平面ABCD, ∴，排除D，选A.
【点评】 可用反证法证明不垂直, 假定.∵PA⊥平面ABCD, ∴, 四边形ABCD是正方形, 这与题设AB≠BC矛盾.
●对应训练
1.若f (x)sinx是周期为π的偶函数，则f (x)可以是①sinx, ②cosx， ③cotx， ④tan中的 ( )
A.①② B.①④ C.③④ D.①
2.下列五个命题：①|a|=a2; ②; ③(a·b)2=a2·b2; ④(a- b)2=a2-2ab+b2; ⑤若a·b=0,则a=0或b=0.其中正确命题的序号是 （ ）
A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤
3.已知等比数列{an}的公比为q,下列命题正确的是 （ ）
A.若q>1, 则{an}为递增数列 B.若0<q<1, 则{an}为递减数列
C.若q<1, 则{an}为无穷递减等比数列 D.以上都不对
●参考答案
1.D【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①.
设F(x)= f (x)sinx， 如果f (x)=sinx，则F(x)=sin2x=(1-cos2x).
∵cos2x(从而F(x))是周期为π的偶函数，∴f (x)可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x)= cosx，则F(x)=sinxcosx=sin2x是周期为π的奇函数，与要求不符，否定A；如果f (x)=tan=，则F(x)=1-cosx是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x)仅可以是①, 选D．
【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.
2.B利用向量运算的性质. ∵a与b共线，其夹角为0.∴a2=a·a=|a||a|cos0=|a|2.①正确排除D；设a, b夹角为θ. 则而向量运算中不含除法运算，，②不能成立，排除A；若a⊥b，且a≠ b，则(a·b)2=0而a2·b2≠0, ∴③不能成立，排除C.
3.D选用特殊值取. q=2>1时，a1=-1<0, 则{an}为递减数列，排除A；当0<q=<1时，若a1=-1<0，则{an}为递增数列，排除B；取q=-2<1, a1=1，则{an}为摆动等比数列，排除C.
第15计 驿站开门 望蜀得陇
●计名释义
一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.
等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.
数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？
●典例示范
【例1】 图中，BC1和DB1分别
是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1
的一条面对角线和体对角线.
试求它们的距离.
【解答】 连A1C1、C1B和BA1.
得边长为的正三角形A1C1B.
易知，体对角线DB1过△A1C1B 例题图
的中心G. 易得GB=GC1.
再作BC1的中点H. 猜想
GH是DB1和BC1的公垂线，
为此只须证明HG⊥DB1.
易知GB1=，HB1=
GH=·· 例题解图
因为 所以GH⊥GB1 即GH⊥DB1.
【说明】 此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”.
【续解】 故HG是BG与DB1的公垂线.且长度为它们的距离.
【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.
●对应训练
1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,其中a，b，c是非零平面向量，且a与b不共线，则该方程 （ ）A
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