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7-4 直线与平面平行 平面与平面平行
一、选择题
1．如图所示，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( )
A．K B．H
C．G D．B′
答案：C
2．给出下列命题，其中正确的两个命题是( )
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．
A．①与② B．②与③ C．③与④ D．②与④
解析：直线上有两点到平面的距离相等，直线可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，直线n可能在平面α内，因此①③为假命题．
答案：D
3．设a、b是异面直线，下列命题正确的是( )
A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C．过a一定可以作一个平面与b垂直
D．过a一定可以作一个平面与b平行
解析：可证明过a一定有一个平面与b平行．
答案：D
4．(2009·南京质检)已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的 长为( )
A．16 B．24或 C．14 D．20
解析：根据题意可出现以下如图两种情况
可求出BD的长分别为或24.
答案：B
5．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是( )
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
二、填空题
6．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为________．
解析：如右图分类，一类如图(1)将四点视为三棱锥四个顶点，取棱中点，可以做如图(1)平面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与底面距离相等，这样的平面有4个；另一类如图(2)取各段中点，四个中点形成平面平行于三棱锥相对棱，这样的平面有3个，共7个．
答案：7
7．下列命题中正确的命题是________．
①直线l上有两点到平面α距离相等，则l∥α；
②平面α内不在同一直线上三点到平面β的距离相等，则α∥β；
③垂直于同一直线的两个平面平行；
④平行于同一直线的两平面平行；
⑤若a、b为异面直线，a⊂α，b∥α，b⊂β，a∥β，则α∥β.
答案：③⑤
三、解答题
8．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面PQDB.
证明：如图连结NQ，由NQ綊A1D1綊AD知：四边形ADQN为平行四边形，则AN∥DQ；
同理AM∥BP，又AM∩AN＝A，根据平面与平面平行的判定定理可知，平面AMN∥平面PQDB.
9．(原创题)如图在四面体S—ABC中，E、F、O分别为SA、SB、AC的中点，G为OC的中点，证明：FG∥平面BEO.
证明：证法一：如图，取BC中点M，连接FM，GM，则GM∥OB，FM∥SC∥EO，
又FM∩GM＝M，则平面FGM∥平面BEO，因此FG∥平面BEO.
证法二：设，
则＝＝
＝＝
＝－＝－b－a，因此FG与b，a共面，∴FG∥平面BEO.
10．已知：如右图，平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N，线段AD分别
交α、β于C、D，线段BF分别交α、β于F、E，且AM＝BN，试证：S△CMF＝S△DNE.
证明：∵α∥β，直线AD与AB确定的平面与α、β分别交于CM、DN，
∴CM∥DN，同理NE∥MF，∴∠CMF＝∠DNE，＝.＝，
又AM＝BN，∴＝，即CM·MF＝DN·NE，∴CM·MFsin∠CMF＝
DN·NEsin∠DNE.因此S△CMF＝S△DNE.
1．如果α∥β，AB和CD是夹在平面α与β之间的两条线段，AB⊥CD，且AB＝2，
直线AB与平面α所成的角为30°，那么线段CD的取值范围是( )
A．(，] B．[1，＋∞) C．[1，] D．[，＋∞)
解析：如图，过A点作平面γ⊥AB，γ∩β＝l，过A作AC⊥l.
垂足为C，连结AC，可以证明AC即为线段CD的最小值．
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴AC＝ABtan∠ABC＝.即CD≥.
答案：D
2．如图，已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于
E和G，连结AD和BC分别交β于F，H.
(1)求证：＝；
(2)判断四边形EFGH是哪一类四边形；
(3)若AC＝BD＝a，求四边形EFGH的周长．
解答：(1)证明：由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为EF和BD，
知EF∥BD.所以＝.同理有FG∥AC，因而＝.所以＝.
(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD.由于β∥γ，所以HG∥BD.同理EH∥AC.故EFGH
为平行四边形．
(3)由EF∥BD，得＝＝.由FG∥AC，得＝＝.
又因为BD＝AC＝a，所以＋＝＝＝1.即EF＋FG＝a.
故四边形EFGH的周长为2a.
3．如下马图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°，
(1)求证：AF∥平面PEC；
(2)求证：平面PEC⊥平面PCD；
(3)设AD＝2，CD＝2，求点A到平面PEC的距离．
解答：(1)证明：取PC的中点G，连EG、FG，
∵F为PD的中点，∴GF綊CD，CD綊AB，又E为AB的中点，
∴AE綊GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥GE，因此AF∥平面PEC.
(2)证明：PA⊥平面ABCD，则AD是PD在底面上的射影，又ABCD为矩形
∴CD⊥AD，则CD⊥PD，因此CD⊥AF，∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，即∠PDA＝45°，F为Rt△PAD斜边PD的中点，AF⊥PD，PD∩CD＝D，
∴AF⊥平面PCD，由(1)知AF∥EG，∴EG⊥平面PDC，
∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.
(3)由(1)知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC交PC于H，则FH⊥平面PEC，∴FH为F到平面PEC的距离，即A到平面PEC的距离，在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，
∠FHP＝∠CDP＝90°，∴△PFH∽△PCD，＝，
∵AD＝2，PF＝，PC＝＝＝4，
∴FH＝·2＝1，∴A到平面PEC的距离为1.
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