数值分析曲线拟合公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 曲线拟合法,一、什么是曲线拟合,已知,要求出一个简单函数 ，使,，这类问题称为曲线拟正当。,x,y,o,曲线拟合和函数插值辨别：,曲线拟合法求出函数p(x)不必通过给定点，但和给定点很靠近。,怎样衡量靠近程度？,第1页,一、什么是最小二乘原理,是衡量靠近程度一种措施,用最小二乘原理进行曲线拟合措施称为最小二乘法。,最小二乘原理,已知,最小。,求 使,由此可见，最小二乘问题需要两个条件：,1.已知一组数据,2.一种拟合多项式（经验公式）,例：,已给出,j,1,2,3,4,5,6,7,Tj,19.1,25.0,30.1,36.0,40.0,45.1,50.0,Rj,76.30,77.80,79.25,80.80,82.35,83.90,85.10,电阻,R,和温度,T,关系,第2页,画草图,t,r,10,20,30,40,50,75,80,85,近似为一直线，设方程为：,rp(t)a+bt （a,b,待定）,使,最小,则,所求拟合曲线是：,r=p(t)=70.57+0.29t,由此得二乘法一般定义,第3页,定义：,设有,n,对数据（,xj,yj)(j=1,2,n)，,从这些数据中找一个,m,次近似,多项式,这里（,mn,时，称为超定方程。,最小,用矩阵形式给出即：,法方程组,思绪,例,第7页,用最小二乘法解如下超定方程组近似解,A=,解：,第8页,正交多项式曲线拟合,一、广义最小二乘拟合多项式,1.）定义：,设函数族,线性无关，则其线性组合,称为,P(x),基函数。,称为广义多项式,2.)最小二乘问题,设给定一组数据,求一个广义多项式,3.)广义最小二乘原理算法,第9页,写成方程组形式,第10页,二、正交多项式曲线拟合,1.)概念：,定义1,：,则称,x,y,正交。,定义2:,设有一个函数族,对其中任意两个多项式,使得在某一组数 中有,称 关于节点 带权 正交多项式族，,称为权函数，且,而 称为关于节点,带权正交多项式。,定义3:,设有一个函数族,其中任意两个多项式,有下式成立：,称此函数为在,a,b,内关于权函数 正交函数族。,第11页,2.)举例,在区间,，,上正交。,在点集,3.)勒让特多项式,当区间,-1,1，,权函数 时，由,所表示多项式，称勒让特多项式。,如：,第12页,4.)等距节点上正交多项式,设,m,次正交多项式含有以下形式：,称为阶乘积。,假设节点为,共,n+1,个整数点，,现在经过这些节点去结构一族正交多项式满足正交条件。,使,第13页,等距节点正交多项式作曲线拟合环节：,1.设等距节点 作变换：,2.取 作为正交多项式系数。,3.经验公式：,其中,第14页,总结：,对函数近似表示式方法,泰勒展开,插值法,最小二乘法,泰勒展开,以,x0,x=1,作线性插值,在,0,1,上求,最小二乘一次式,由此可见：用正交多项式作线性拟合，精度最高。,第15页,