初三锐角三角函数知识点与典型例题.doc

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锐角三角函数：

知识点一：锐角三角函数的定义：
一、 锐角三角函数定义：
在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
则∠A的正弦可表示为：sinA= ，
∠A的余弦可表示为cosA=
∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数

【特别提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关
2、取值范围 <sinA< cosA< tanA> 】

例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第1题图
①＝______， ＝______；
②＝______， ＝______；
③＝______， ＝______．
例2. 锐角三角函数求值：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

典型例题：
类型一：直角三角形求值
1．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．

2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
求：AB及OC的长．

3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4. 已知是锐角，，求，的值

对应训练：
（西城北）3．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为
A． B． C． D．2
(房山)5．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.
A． B. C. D.

类型二. 利用角度转化求值：
1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．

2． 如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．

3.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ．

4.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积= cm2．

5.（2009·齐齐哈尔中考）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）

A． B． C． D．
6. 如图4，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，AB=8,则的值为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7. 如图6，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若 ，则的长为( )
A． B．
C． D．
8. 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=求 ∠B的度数及边BC、AB的长.

图6

类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 （2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．

例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．
例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ABC的值．

对应训练
1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是
A.2 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.12 cm2

类型四：利用网格构造直角三角形
例1 （2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．

对应练习：
1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为
A. B. C. D.

3．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（ ）

A． B. 　　　C. D. 2

特殊角的三角函数值
锐角a
30°
45°
60°
sina

cosa

tana

当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而

例1．求下列各式的值．

（昌平）1）.计算：．

（朝阳）2）计算：.

（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°

(石景山)4．计算：．

(通县)5．计算： ；

例2．求适合下列条件的锐角a ．
(1) (2)

(3) (4)

（5）已知a 为锐角，且，求的值

（6）在中，若，都是锐角，求的度数.

例3. 三角函数的增减性
1．已知∠A为锐角，且sin A < ，那么∠A的取值范围是
A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
2. 已知A为锐角，且，则 （ ）
A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°

例4. 三角函数在几何中的应用
1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：
(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

3. 已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD的值．

5.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，，．求AB的长.

解直角三角形：
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
①三边之间的等量关系：________________________________．
②两锐角之间的关系：__________________________________．
③边与角之间的关系：
______；_______；
_____；______．
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．

类型一
例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；

(2)已知：，，求∠A、∠B，c；

(3)已知：，，求a、b；

(4)已知：求a、c；

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．

例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．

例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

类型二：解直角三角形的实际应用
仰角与俯角：
例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）

A．
200米
B．
200米
C．
220米
D．
100（）米

例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．

例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．
从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，
测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．

例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．

例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）

A．
10米
B．
10米
C．
20米
D．
米

例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）

类型四. 坡度与坡角
例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（　　）
A．100m B．100m C．150m D．50m

类型五. 方位角
1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)

2．（2012•恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）

解决问题
如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．

综合题：
三角函数与四边形：
（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，
tan∠BDC= ．
(1) 求BD的长；
(2) 求AD的长．

（2011东一）18．如图，在平行四边形中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）若AE=4，AF=，，求CF的长．

三角函数与圆：
1． 如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．

（延庆）19. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C
(2) 若AD=8，tanC=，求⊙O 的半径。

（2013朝阳期末）21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.
（1）求证:BF是⊙O的切线;
（2）若, DE=9，求BF的长．

作业：
（昌平）1．已知，则锐角A的度数是
A． B． C． D．
（西城北）2．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为
A． B． C． D．2
(房山)3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.
A． B. C. D.

(大兴)4. 若，则锐角＝ .
(石景山)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2， 则tanB的值是
A． B． C． D．

（丰台）5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是
A．　　　　　 B．2　　　 C．　　　　　 D．
(大兴)5. △ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是
A. B.
C. D.
(通县)
4．如图，在直角三角形中，斜边的长为，，
则直角边的长是（ ）
A． B．
C． D．

（通州期末））1．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且OM : OP=4 : 5，则cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．

（西城）6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10， ， 则AB的长是
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC= 90°，若sinA=，则cos∠BCD的值为　　 ．

13. 计算：

13．计算.

13．计算：．

14.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=.解这个直角三角形

20. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，求的值．

（延庆）19. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
(3) 求证：∠AOD=2∠C
(4) 若AD=8，tanC=，求⊙O 的半径。

（延庆期末）19．如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端
处的俯角为，荷塘另一端处、在
同一条直线上，已知米，米，
求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）

18.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆
经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A +∠B =．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．
（1）证明：

（2）解：

（西城） 15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．[来源:学|科|网]

18．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．
22．已知，如图，在△中，，以DC为直径作半圆，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，．
（1）求证：BF是的切线；
D
O
A
C
B
F
E

（2）若，，求的半径．

15．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30º，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60º，求楼AB的高．

14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

15.（2009·常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）．

16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
(参考数据： )

18. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．

图13

（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）
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