【学海导航】高考数学一轮总复习平面及其基本性质时理广西专PPT课件.ppt

第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲（第二课时）（第二课时）1.1.四面体四面体ABCDABCD中，中，E E、G G分别为分别为BCBC、ABAB的中点，的中点，F F在在CDCD上，上，H H在在ADAD上，上，且有且有DFFC=DFFC=2323，DHHA=DHHA=2323.求证：求证：EFEF、GHGH、BDBD交于一点交于一点.题型题型4 4 共点问题共点问题分分析析：只只要要证证明明点点E E、F F、G G、H H分分别别所所在在的的直直线线EGEG和和HFHF平平行行，由由公公理理的的推推论论3 3就就可可知知它它们们共共面面.在在ABDABD和和CBDCBD中中，由由E E、G G分分别别是是BCBC和和ABAB的中点及的中点及 可得，可得，所所 以以EGHF,EGHF,直直线线EFEF，GHGH是是梯梯形形的的两两腰腰，所所以以它它们们的的延延长长线线必必相相交交于于一一点点P P.因因此此，要要证证三三条条直直线线EFEF、GHGH、BDBD交交于于一一点点，只只要要证证点点P P在在直直线线BDBD上上即即可可.事事实实上上，由由于于BDBD是是EFEF和和GHGH分分别别所所在在平平面面BCDBCD和和平平面面ABDABD的的交交线线，而而点点P P是是上上述述两两平平面面的公共点，由公理的公共点，由公理2 2知知PBDPBD.证法证法1 1：(几何法几何法)连结连结GEGE、HF.HF.因为因为E E、G G分别为分别为BCBC、ABAB的中点，的中点，所以所以GEACGEAC.又因为又因为DFFC=DFFC=2323，DHHADHHA=23=23，所以所以HFACHFAC,所以所以GEHF.GEHF.故故G G、E E、F F、H H四点共面四点共面.又因为又因为EFEF与与GHGH不能平行，不能平行，所以所以EFEF与与GHGH相交，设交点为相交，设交点为P P.则则P P平面平面ABDABD，P P平面平面BCDBCD，而平面而平面ABDABD平面平面BCD=BDBCD=BD，所以所以EFEF、GHGH、BDBD交于一点交于一点.证法证法2 2：(向量法向量法)由由所以所以 ，从而，从而 .故故G G、E E、F F、H H四点共面四点共面.又因为又因为EFEF与与GHGH不能平行，所以不能平行，所以EFEF与与GHGH相交，相交，设交点为设交点为P P.则则PP平面平面ABDABD，PP平面平面BCDBCD，而平面而平面ABDABD平面平面BCD=BDBCD=BD，所以所以EFEF、GHGH、BDBD交于一点交于一点.点评：点评：证明线共点，常采用证两直线的证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线直线又往往是两平面的交线.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E是是ABAB的中点，的中点，F F是是A A1 1A A的中点，求证：的中点，求证：CECE，D D1 1F F，DADA三线共点三线共点.证明：证明：因为因为E E是是ABAB的的中点，中点，F F是是A A1 1A A的中点，连的中点，连结结A A1 1B B.则则EFEFA A1 1B B，所以，所以EFDEFD1 1C C且且EF=EF=D D1 1C C，故四边形故四边形ECDECD1 1F F是梯形，是梯形，两腰两腰CECE，D D1 1F F相交，设其交点为相交，设其交点为P P.则则PCEPCE，又，又CECE平面平面ABCDABCD，所以所以PP平面平面ABCDABCD.同理，同理，P P平面平面ADDADD1 1A A1 1.又平面又平面ABCDABCD平面平面ADDADD1 1 A A1 1=AD=AD，根据公理根据公理3 3知，知，P PADAD，所以，所以CECE，D D1 1F F，DADA三线共点三线共点.2.2.在在空空间间四四边边形形ABCDABCD中中，E E、F F、G G、H H分分别别是是ABAB、BCBC、ADAD、CDCD边边上上的的点点，且且EFEF和和GHGH相交于相交于P P点，求证：点，求证：A A、C C、P P三点共线三点共线.题型题型5 5 共线问共线问题题证明：证明：依据题意，依据题意，A A、B B、C C为不共线三点，由这三点确定一个平面为不共线三点，由这三点确定一个平面.因为因为E E、F F分别是分别是ABAB、BCBC上的点，上的点，所以所以E E、F F在平面在平面ABCABC内，内，从而直线从而直线EFEF在平面在平面ABCABC内内.因为点因为点P P在直线在直线EFEF上，上，所以点所以点P P在平面在平面ABCABC内内.同理，点同理，点P P在平面在平面ACDACD内内.所以点所以点P P是平面是平面ABCABC和和平面平面ACDACD的一个公共点的一个公共点.因为平面因为平面ABCABC平面平面ACD=ACACD=AC，所以点所以点P P在直线在直线ACAC上，上，即即A A、C C、P P三点共线三点共线.点评：点评：证多点共线问题，一般先取过证多点共线问题，一般先取过两点的直线，然后证其他点在这条直两点的直线，然后证其他点在这条直线上；也可证明这些点均在两个平面线上；也可证明这些点均在两个平面的交线上的交线上.THANK YOUSUCCESS2024/2/26 周一周一12可编辑可编辑 在正方体在正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，对角线对角线A A1 1C C与平面与平面BDCBDC1 1相交于相交于O O点，点，直线直线ACAC和和BDBD相交于点相交于点M M.求证：求证：C C1 1、O O、M M三点共线三点共线.证明：证明：因为因为AAAA1 1CCCC1 1，所以所以AAAA1 1和和CCCC1 1确定一个平面确定一个平面.显然，显然，C C1 1、O O、M M三点都在平面三点都在平面AAAA1 1C C1 1C C内内.又又C C1 1、O O、M M三点都在平面三点都在平面BCBC1 1D D内，内，所以所以C C1 1、O O、M M三点在平面三点在平面AAAA1 1C C1 1C C和和平面平面BCBC1 1D D的交线上，即三点共线的交线上，即三点共线.3.3.已知三条直线已知三条直线a a、b b、c c两两互相平行，两两互相平行，且分别与直线且分别与直线l l相交于相交于A A、B B、C C三点，证明：四三点，证明：四条直线条直线l l、a a、b b、c c共面共面.证明：证明：因为因为abab，bcbc，故设由故设由a a、b b确定的平面确定的平面为为，由，由b b、c c确定的平面为确定的平面为.因为因为la=Ala=A，lb=Blb=B，而，而AA，BB，所以所以ll.同理，同理，ll.题型题型6 6 共面问题共面问题点评：点评：证明直线共面通常的方法是：证明直线共面通常的方法是：由其中两条直线确定一个平面，再由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内证明其余的直线都在此平面内(纳入法纳入法)；过某些直线作多个平面，然后证明这过某些直线作多个平面，然后证明这些些平面重合平面重合(重合法重合法)；也可利用共面向量定理来证明也可利用共面向量定理来证明.求证：两两相交且不通过同一点的四条直求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内线必在同一平面内.证明：证明：(1)(1)若若a a、b b、c c三线共点三线共点P P，但点，但点P Pd d，由由d d和其外一点可确定一个平面和其外一点可确定一个平面.又又a ad=Ad=A,所以点所以点A A,所以直线所以直线a a.同理可证：同理可证：b b、c c,所以所以a a、b b、c c、d d共面共面.(2)(2)若若a a、b b、c c、d d两两相交但不过同一点两两相交但不过同一点,因为因为a ab=Q,b=Q,所以所以a a与与b b可确定一个平面可确定一个平面.又又c cb=Eb=E,所以所以E E,同理同理c ca=F,a=F,所以所以F F,所以直线所以直线c c上有两点上有两点E E、F F在在内内,所以所以c c.同理可证：同理可证：d d,故故a a、b b、c c、d d共面共面.由由(1)(2)(1)(2)知：两两相交且不通过同一点的四知：两两相交且不通过同一点的四条直线必共面条直线必共面.对于空间五个不同的点，若任意四点对于空间五个不同的点，若任意四点都是共面的，求证：这五个点必共面都是共面的，求证：这五个点必共面.证明：证明：设五个点分别为设五个点分别为A A、B B、C C、D D、E E，且且A A、B B、C C、D D四点在平面四点在平面内，内，A A、B B、C C、E E四点在平面四点在平面内内.(1)(1)若若A A、B B、C C三点不共线，则平面三点不共线，则平面、有三个不共线的公共点，所以有三个不共线的公共点，所以与与重合，从而五点共面重合，从而五点共面.(2)(2)若若A A、B B、C C三三点点共共线线，设设所所在在直直线线为为l l.依依据据题题意意，A A、B B、D D、E E四四点点共共面面，则则直直线线l l在在这这个个平平面面内内，从从而而C C点点也也在在该该平平面面内，故有五点共面内，故有五点共面.1.1.证证明明若若干干个个点点共共线线，常常转转化化为为证证明明这这些些点点都都是是某某两两个个平平面面的的公公共共点点，再再根根据据公公理理2 2，这这些些点点都都在在这这两两个个平平面面的的交交线线上，从而共线上，从而共线.2.2.证证明明若若干干条条直直线线共共点点与与证证明明若若干干个个点点共共线线是是同同一一类类问问题题，都都可可以以转转化化为为证证明明“点点在在直直线线上上”(两两条条直直线线的的交交点点在在第第三条直线上三条直线上).).3.3.证证明明某某些些点点或或直直线线共共面面，常常用用两两种种方方法法：一一是是先先由由其其中中的的某某些些点点或或直直线线确确定定一一个个平平面面，再再证证其其他他点点或或直直线线都都在在这这个个平平面面内内；二二是是先先由由其其中中的的某某些些点点或或直直线线确确定两个平面定两个平面、，再证，再证、重合重合.THANK YOUSUCCESS2024/2/26 周一周一23可编辑可编辑