【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业(二十七)-理-新人教版.doc

课时作业(二十七)
1．(2012·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案　C
解析　∵a在b方向上的投影为|a|·cos<a，b>＝cos＝.选C.
2．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，若|c|＝，且a·b＝a·c，则c＝(　　)
A．(－4,7) B．(－5,1)
C．(5,1) D．(2,4)
答案　C
解析　设c＝(x，y)，|c|＝，∴x2＋y2＝26①
∵a·b＝a·c，∴2×(－4)＋3×7＝2x＋3y②
联立①②，解之得
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a，b＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，
即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0⇒3m·32＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×22＝0，解之得m＝.
4．O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是(　　)
A.·<·<·
B.·>·>·
C.·＝·＝·
D.·<·＝·
答案　A
解析　

如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O(1,1)，
则＝(－1,2)，＝(3，－1)，＝(－1，－1)，·＝－5，·＝－1，·＝－2.
5．(2011·广东理)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
答案　D
解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
6．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)
A．25　　　　　　　　 B．24
C．－25 D．－24
答案　C
解析　∵||＝3，||＝4，||＝5，
∴||2＝||2＋||2，故∠B＝90°.则有·＝0.
由·＝||||cos(π－C)＝4×5×(－)＝－16，
·＝||||cos(π－A)＝5×3×(－)＝－9，
则原式＝0＋(－16)＋(－9)＝－25.
7．(2011·全国课标理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，)　p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π]　p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，)　p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π]其中的真命题是(　　)
A．p1，p4 B．p1，p3
C．p2，p3 D．p2，p4
答案　A
解析　由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b>－，故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b<，故θ∈(，π]，反之也成立，选A.
8．(2011·辽宁理)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B．1
C. D．2
答案　B
解析　由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≥1，故|a＋b－c|≤1.
9．在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM＝2，则·(＋)＝________.

答案　－2
解析　

如图，延长NM到点C，使得MC＝NM.连接AC、BC.根据向量的几何运算法则，可得＋＝＝，而＝－，所以·(＋)＝－||2＝－2.
10．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于________．
答案　(，)
解析　令b＝(x，y)，注：也可设b＝(cosθ，sinθ)，则

将②代入①知
x2＋(－x)2＝1⇒x2＋3－6x＋3x2－1＝0，
解得x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝⇒y＝.
11．(2011·湖南理)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
答案　－
解析　根据已知＝(＋)，＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝(－1－·)＝－.
12．(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
答案　
解析　由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝.
13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|；
(3)若＝a，＝b，作△ABC，求△ABC的面积．
答案　(1)120°　(2)，　(3)3
解析　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，
∴cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
(2)可先平方转化为向量的数量积．
|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
同理，|a－b|＝＝.
(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．
由(1)知∠BAC＝θ＝120°，
||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC
＝×3×4×sin120°＝3.
14．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．
答案　(－7，－)∪(－，－)
解析　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
解得－7<t<－，
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
可求得　∴
∴所求实数t的范围是(－7，－)∪(－，－)．
15．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解析　(1)证明　∵(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a|·|c|·cos120°－|b|·|c|·cos120°＝0，
∴(a－b)⊥c.
(2)解析　|ka＋b＋c|>1⇔|ka＋b＋c|2>1，
⇔k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a、b、c的夹角均为120°，
∴a2＝b2＝c2＝1，
a·b＝b·c＝a·c＝－，
∴k2－2k>0，∴k>2或k<0.

1．(2012·东北三校一模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则实数λ等于(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．1
C．－2 D．2
答案　B
解析　依题意得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，(λa－b)·a＝(λ－4，－3λ＋2)·(1，－3)＝λ－4－3(－3λ＋2)＝10λ－10＝0，λ＝1，选B.
2．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝________.
答案　
解析　依题意得b＝－2a，所以|3a＋b|＝|a|＝.
3.

(2012·沧州七校联考)如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
答案　2
解析　·＝(＋) ·(＋)＝·＋·＋·＋·，
又因为⊥，＝，
∴·＝·＋·＋1
＝·(＋)＋1≤|||＋|＋1
＝1×1＋1＝2.
4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
答案　
解析　解法一：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
又(a－c)·(b－c)＝0，所以|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，其中θ是c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ.
又θ∈[0，π]，所以|c|的最大值是.故填.
解法二：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)．
又(a－c)·(b－c)＝0，所以(1－x)·(－x)－y(1－y)＝0，从而得到圆：(x－)2＋(y－)2＝，所以向量c的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上．又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大值是.故填.
解法三：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．
又a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c为其对角线．
所以当c是直径时，|c|达到最大值，这时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值是.故填.
5．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值是________．
答案　－2
解析　解法一　如图所示，由题易得

⇒·(＋)＝·2
＝2||||·cos180°
＝－2||||.
又∵||＋||＝2，
∴||||≤()2＝1
(当且仅当||＝||时取等号)．
∴·(＋)＝－2||||≥－2，
即O为AM中点时，·(＋)取最小值为－2.
解法二　令||＝x且0≤x≤2，则||＝2－x.
·(＋)＝·2
＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)
＝2(x－1)2－2≥－2.
∴·(＋)的最小值为－2.

1．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于(　　)
A．9 B．4
C．0 D．－4
答案　A
解析　因为向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，所以a－b＝(1－x，4)，又因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即1×(1－x)＋2×4＝0，解得x＝9，故选A.
2．(2012·郑州第一次质测)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，则向量a、b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝，
∴a·b＝|a||b|cos<a，b>＝，cos<a，b>＝，<a，b>＝60°，故选C.
3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　)
A. B.
C. D．4
答案　C
解析　∵|a＋3b|＝
＝＝，∴选C.
4．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|等于(　　)
A. B．2
C．5 D．25
答案　C
解析　由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5，
∵|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝20.
∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.
∴|b|＝5，故选C.
5.

(2011·《高考调研》原创题)如图，P是△AOB所在平面一点，向量＝a，＝b，且P点在线段AB的垂直平分线上，向量＝c，若|a|＝2，|b|＝1，则c·(a－b)的值为
A.　　　　　　 B．1
C. D．2
答案　C
解析　设线段AB的垂直平分线与AB的交点为C，连接OC，则c·(a－b)＝·＝(＋)·＝·＋·＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝.故选C.
6．在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝______.

答案　－
解析　·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－.
7．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．
答案　4
解析　||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，(＋)·＝2·＝||2＝4.
8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．
答案　
解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a|·|b|cos＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|，|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，|a－b|＝，故填.
9．(2012·浙江金华十校)已知△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
答案　3
解析　由已知得(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.
10．(2011·大纲全国理)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，<a－c，b－c>＝60°，则|c|的最大值等于(　　)
A．2　　　　　　　　　 B.
C. D．1
答案　A
解析　依题意得，|a＋b|＝＝1.一方面，(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝－－(a＋b)·c＋|c|2；另一方面，(a－c)·(b－c)＝|a－c|·|b－c|≤＝，于是有－－(a＋b)·c＋|c|2≤，即|c|2≤2＋(a＋b)·c≤2＋|a＋b|·|c|＝2＋|c|，|c|2－|c|－2＝(|c|－2)(|c|＋1)≤0，|c|≤2，即|c|的最大值是2，选A.

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