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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解,一、问题提出,第1页,第1页,微分方程:,凡含有未知函数导数或微分方程叫微分方程.,例,实质:,联系自变量,未知函数以及未知函数一些导数(或微分)之间关系式.,分类1,:常微分方程,偏微分方程.,第2页,第2页,微分方程阶:,微分方程中出现未知函数最,高阶导数阶数.,一阶微分方程,高阶(,n,)微分方程,分类2:,分类3,:单个微分方程与微分方程组.,第3页,第3页,微分方程解:,代入微分方程能使方程成为恒等式函数.,微分方程解分类：,(1)通解:微分方程解中含有任意常数,且任意常数个数与微分方程阶数相同.,第4页,第4页,(2)特解:拟定了通解中任意常数以后解.,解图象:,微分方程积分曲线.,通解图象:,积分曲线族.,初始条件:,用来拟定任意常数条件.,过定点积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点切线斜率为定值积分曲线.,初值问题:,求微分方程满足初始条件解问题.,第5页,第5页,解,第6页,第6页,所求特解为,微分方程初等解法:,初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),第7页,第7页,可分离变量微分方程:,2.,两边同时积分:,第8页,第8页,解,可简写为：,例,第9页,第9页,第10页,第10页,解,例,第11页,第11页,例.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数),故所求特解为,第12页,第12页,2.可化为分离变量一些方程,(1).,齐次方程,形如,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程通解.,解法:,分离变量:,第13页,第13页,例,解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程通解为,(,当,C,=0,时,y,=0,也是方程解),(,C,为任意常数),第14页,第14页,例,解,是齐次方程,第15页,第15页,第16页,第16页,例.,解微分方程,解：将右端函数分子，分母同时除以自变量x,此为齐次方程，令,分离变量，再两边积分,将u带回得,第17页,第17页,第18页,第18页,第19页,第19页,(2).,型方程,作变换,例.,求方程 通解,解：令 则,得方程通解为,将 代回得原方程通解,第20页,第20页,(3)形如,第21页,第21页,第22页,第22页,解,代入原方程得,分离变量、积分得,得原方程通解,方程变为,第23页,第23页,3、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程,原则形式:,上方程称为,齐次,.,上方程称为,非齐次,.,比如,线性;,非线性.,第24页,第24页,齐次线性,方程,1,、方程,(1)任意两个解,和仍是(1)解；,2,、方程,(1)任意一个解常数倍仍是(1)解；,3,、,方程,(1),任意一个解加上方程(2)任意一个解是(2)解；,4,、,方程(2)任意两个解之差是(1)解,.,线性方程解性质,非齐次线性,方程,那么方程,(2),通解为,第25页,第25页,那么方程,(2),通解为,相应齐次方程通解,非齐次方程特解,第26页,第26页,特解,线性方程解,叠加性质,和,一个特解.,第27页,第27页,齐次方程通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程,解法,使用分离变量法,第28页,第28页,形式求积：,形式求解结果给了我们主要启示：,若方程有解，其解必,先来观测，若（1）有解，其解形状如何？对方程作形式,求解：将（1）改写成,第29页,第29页,上述解方程办法，叫做,常数变易法,，用于求解线性非齐次方程。,将,y,和 代入（1）：,第30页,第30页,齐次方程通解,非齐次方程特解,即,第31页,第31页,第32页,第32页,解,：,第33页,第33页,也能够直接代公式求解,第34页,第34页,例 用常数变易法求一阶线性方程通解,解：齐次方程通解：,用常数变易法，令,代入原方程得,即,故通解为,第35页,第35页,解：若将方程写为,它显然不是线性方程，将方程改写作,第36页,第36页,第37页,第37页,解：因“”右端均为可导函数，故左端也可导，两边对,x,求导,第38页,第38页,伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程原则形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程通解.,解法:,(线性方程),第39页,第39页,例,求方程 通解,解：这是伯努力方程,，其中,则,第40页,第40页,可降阶高阶微分方程,(1)型微分方程,(2)型微分方程,(3)型微分方程,第41页,第41页,(1)、型微分方程,令 则,两端积分得,则,再积分，得通解,第42页,第42页,例 求方程通解,积分一次得,再积分一次得,最后积分得,第43页,第43页,型微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程通解,(2)、,第44页,第44页,例 求方程 满足初始条件,特解。,解：设,原式为,分离变量并积分,即,第45页,第45页,用 代替 ，得,积分得,代入初始条件,得,故特解是,第46页,第46页,(3)、,型微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程通解,第47页,第47页,例.,求解,故所求通解为,解:,原始可写为,两端积分得,第48页,第48页,可降阶微分方程解法,降阶法,逐次积分,令,令,注意：,对于 型微分方程依据详细方程选择用办法2或办法3，使得降阶后所得方程容易求解,第49页,第49页,（1）、恰当方程定义及条件,假如方程,就能够马上写出它隐式解,恰当方程和积分因子,第50页,第50页,定义1,则称微分方程,是,恰当方程,.,如,是恰当方程.,第51页,第51页,需考虑问题,(1)方程(1)是否为恰当方程?,(2)若(1)是恰当方程,如何求解?,(3)若(1)不是恰当方程,有无也许转化为恰当方程求解?,方程为恰当方程充要条件,定理1,为,恰当方程充要条件,是,第52页,第52页,（2）恰当方程求解：求全微分原函数,不定积分法,第53页,第53页,解:,故所给方程是恰当方程.,例,验证方程,是恰当方程,并求它通解,.,第54页,第54页,即,积分后得,:,故,从而方程通解为,第55页,第55页,分组凑微法,采用,“,分项组合,”,办法,把本身已构成全微分项分出来,再把余项凑成全微分.,-应熟记一些简朴二元函数全微分.,如,第56页,第56页,第57页,第57页,例,求方程,通解,.,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为,:,第58页,第58页,例,验证方程,是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2解,.,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“,分项组合,”得,即,第59页,第59页,或写成,故通解为:,故所求初值问题解为:,第60页,第60页,线积分法,由数学分析曲线积分与路径无关定理知:,第61页,第61页,从而(1)通解为,第62页,第62页,例,求解方程,解:,故所给方程是恰当方程.,第63页,第63页,故通解为:,第64页,第64页,（2）积分因子,非恰当方程如何求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程,.,第65页,第65页,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,则,是恰当方程,.,可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,第66页,第66页,定义,例,解:,对方程有,第67页,第67页,由于,把以上方程重新“分项组合”得,即,第68页,第68页,也即,故所给方程通解为:,积分因子拟定,即,第69页,第69页,尽管如此,方程,还是提供了寻找特殊形式积分因子路径.,第70页,第70页,命题1，2,微分方程,第71页,第71页,第72页,第72页,变成,即,第73页,第73页,此时求得积分因子,第74页,第74页,第75页,第75页,例,解,第76页,第76页,
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