海安县2011届课本回归检测(一).doc

海安县2011届课本回归检测（一）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷2部分，本试卷第1-14 题是填空题，第15-20题是解答题．共160分．
考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定
位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

数 学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知全集，集合，则 ▲ ．

2．设，，其中是虚数单位，若复数是纯虚数，则＝ ▲ ．

3．某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则乙生产线生产了 ▲ ．件产品．

4．若＝＋是偶函数，则实数a＝ ▲ ．

5．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 ▲ ．

6．如右图，函数y＝的图象在点P处的切线方程，y＝－x＋5，在－＝
▲ ．

7．定义某种新运算：S＝ab的运算原理如图所示，
则54－36＝ ▲ ．

8．如图，四边形ABCD中，若AC＝，BD＝1，则＝ ▲ ．

9．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ▲ ．

10．若A，B，C为△ABC的三个内角，则＋的最小值为 ▲ ．

11．双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是，，过作倾斜角的直线交双曲线右支于M点，若垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝ ▲ ．

12．在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |＋≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，3x－4y≥0}，则点集Q＝{( x，y) |x＝＋，y＝＋，(，)∈A，(，)∈B}所表示的区域的面积为 ▲ ．
13．已知函数＝＋＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是 ▲ ．

14．O是△ABC所在平面上的一定点，动点P满足, ,则点形成的图形一定通过的 ▲ .（填外心或内心或重心或垂心）

二、解答题（本大题共6道题计90分．解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）
15．在△ABC中，BC=1，，
（Ⅰ）若，求AB；
（Ⅱ）若，求．

16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD⊥底面，，是的中点，作⊥交于点.
（1）证明：∥平面；
（2）证明：⊥平面.
(3)若AB=4,BC=3,求点C到平面PBD的距离.

17.（本小题满分15分）
如图所示，直角坐标系xOy建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段MD是以O为圆心，OD为半径的圆弧，后一段DBC是函数y=Asin（）（A>0，>0, ），时的图象，图象的最高点为
(Ⅰ)求函数的解析式；
F
y
D
E (4. 0) (5. 0) (8. 0)
B
C
x
O
P
M
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园OEPF，其中折线FPE为水上赛艇线路，问点P落在圆弧MD上何处时赛艇线路最长？

18．已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当时，圆：被直线截得弦长为，求实数的值。
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识,考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力.

19．已知数列前项和.数列满足，数列满足。
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。

20． 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．
参考答案：
1.
2.

3．1000．解析：因为a，b，c构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3000件，所以乙生产线生产了1000件产品．
4．－3．解析：由是偶函数可知，＝对任意的x∈R恒成立，即＋＝＋，化简得2a＝－6，a＝－3．
5．．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5＝25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，所以数字和恰好等于4的概率是P＝．
6．3．解析：函数y＝的解析式未知，但可以由切线y＝－x＋5的方程求出＝2，而＝＝－1，故－＝3．
7．1．解析：由题意知54＝5×(4＋1)＝25，36＝6×(3＋1)＝24，所以54－36＝1．
8．2．解析：＝
＝＝＝＝2．
9．1︰2︰3．解析：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为，，，从而它们的表面积之比为1︰2︰3．
10．．解析：因为A＋B＋C＝，且(A＋B＋C)·(＋)＝5＋4·＋≥5＋＝9，因此＋≥，当且仅当4·＝，即A＝2(B＋C)时等号成立．
11．．解析：如图，在Rt△中，∠＝，＝2c，所以＝＝，＝＝．所以2a＝－＝－＝，故e＝＝．
12．18＋．解析：如图所示，点集Q是由三段圆弧以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：＋＋＋＋＝×4×3＋(3＋4＋5)×1＋＝18＋．
13．(－3，－2)．解析：由题意知，三个交点分别为(1，0)，(，0)，(，0)，且0＜＜1＜．
由＝0可知b＝－a－3，所以＝＋＋3x＋b＝(x－1)(＋ax＋a＋3)，故＋ax＋a＋3＝0的两根分别在(0，1)，(1，)内．
令＝＋ax＋a＋3，则得－3＜a＜－2．
14．垂心
15．解：（Ⅰ）依题意：，
即，解之得，（舍去）
（Ⅱ），∴ ，，
∴ ．
16．证明：（1）连结交与，连结.
∵底面是正方形，
∴点是的中点.
又∵是的中点
∴在△中，为中位线
∴∥. …3分
而平面，平面，
∴∥平面. …5分
（2）由⊥底面，得⊥.
∵底面是正方形，
∴⊥，
∴⊥平面. 而平面，
∴⊥.① …8分
∵，是的中点，
∴△是等腰三角形， ⊥.②
由①和②得⊥平面.
而 平面，∴⊥.
又⊥且=，
∴⊥平面. …10分
(3) 14分
17. 对于函数，
由图象知，， ……………………3分
将代人到中，得，又，
所以，故 ……………………7分
（1） 在中令，得∴ ………9分
连接OP,设，，则
设赛艇线路长为.
则 ……………………12分
当时有最大值，此时. ……………………14分
所以当点的坐标为时赛艇线路最长. `……………………15分
18.解：（Ⅰ）双曲线的左右焦点为
即的坐标分别为.
所以设椭圆的标准方程为,则,
且,所以,从而,
所以椭圆的标准方程为.
若是竖放的，则：
(Ⅱ)设则，即
.
所以的值与点的位置无关，恒为。
（Ⅲ）由圆：得，
其圆心为，半径为，
由（Ⅱ）知当时，，
故直线的方程为即，
所以圆心为到直线的距离为，
又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得
圆心到直线的距离，
所以， 即，解得或。
所以实数的值为或.

19. 解：（1）由已知和得，当时，

又，符合上式。故数列的通项公式。
又∵，∴，
故数列的通项公式为，
（2），
，
，
①-②得

，
∴ 。

（3）∵,
∴
,
当时，；当时，，∴。
若对一切正整数恒成立，则即可，
∴，即或。

20.解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调减区间是，单调增区间是；
当时，函数是常数函数，无单调区间。
（Ⅱ）
由,
∴，.
故，
∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴ 函数在区间上总存在零点，
又∵函数是开口向上的二次函数，且
∴
由，令，则，
所以在上单调递减，所以；
由，解得；
综上得：
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。 \
（Ⅲ）
令，则
.
①当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；
②当时，,
，在上恒成立，
故在上单调递增。

故只要，解得
综上所述， 的取值范围是