《3.2-空间向量的坐标》同步练习.doc

《3.2 空间向量的坐标》同步练习

1．在以下3个命题中，真命题的个数是 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　命题①，②是真命题，命题③是假命题．
答案　C
2．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是 (　　)．
A．90° B．60°
C．30° D．0°
解析　∵|a|＝|b|＝，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
答案　A
3．向量a＝(2，－1，2)，则与其共线且满足a·x＝－18的向量x是 (　　)．
A. B．(4，－2，4)
C．(－4，2，－4) D．(2，－3，4)
解析　设x＝λa＝(2λ，－λ，2λ)，则a·x＝4λ＋λ＋4λ＝－18，得λ＝－2，即x＝(－4，2，－4)．
答案　C
4．若向量a＝(7，1，－3)与向量b＝(x，y，6)平行，则x＋y＝________．
解析　∵a∥b，∴＝＝，∴x＝－14，y＝－2.
答案　－16
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x的值是________．
解析　a⊥b⇒a·b＝0，即2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，
所以x＝.
答案　
6．已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－1，2)、(4，5，－1)、(－2，2，3)．求分别满足下列条件的点P的坐标：
(1)OP＝(AB－AC)；(2)AP＝(AB－AC)．
解　AB＝(2，6，－3)，AC＝(－4，3，1)．
(1)OP＝(6，3，－4)＝，
则点P的坐标为.
(2)设P为(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(AB－AC)＝AP＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P坐标为.

7．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 (　　)．
A. B.
C．4 D．8
解析　设向量a、b的夹角为θ，
于是cos θ＝＝，由此可得sin θ＝.
以a、b为邻边的平行四边形的面积为
S＝2××3×3×＝.
答案　A
8．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为 (　　)．
A．± B.
C．－ D．±
解析　＋λ＝(1，－λ，λ)，∴cos 120°＝＝＝－，∴λ<0，排除A，B，D.
答案　C
9．已知向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________．
解析　由a＝(2，4，x)，得|a|＝＝6，
∴x＝±4.①
又a⊥b，∴a·b＝2×2＋4×y＋2x＝0，②
由①②得或
∴x＋y＝1或x＋y＝－3.
答案　1或－3
10．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析　a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a、b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a、b不可能反向，所以实数x的取值范围是{x|x<－2}．
答案　{x|x<－2}
11．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．

解　(1)以O为原点，分别以OA、OC、OO1所在直线为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，
∴A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)，C(0，3，0)，
∴＝(－2，0，2)，＝(－1，0，－2)．
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
∴直线AO1与B1E所成角的余弦值为.
(2)连结OD.∵O1D⊥AC，
∴OD⊥AC，设D坐标为(x，y，0)，
由得⇒
∴点D的坐标为.
∴||＝ ＝.

12．(创新拓展)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心．
(1)求证：B1O3⊥PA；
(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；
(3)求PO2的长．
(1)证明　　以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

则B1(1，1，1)，O3，P， A(1，0，0)，
＝，＝，
∴·＝－＋0＋＝0，
即⊥PA，∴B1O3⊥PA.
(2)解　∵O1，O2，
则＝.
又∵＝，
∴cos〈，〉＝
＝
＝，
∴异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值为.
(3)解　∵P，O2，＝.
∴||＝ ＝.