浙江省2012届高考数学领先卷试题-理-新人教A版.doc

浙江省2012届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理科 数 学
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示球的半径 表示棱台的高
选择题部分（共50分）
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，中任意两个不同元素的和的集合为，2，，则集合A中
的任意两个不同元素的差的绝对值所组成的集合为
A．，2， B．， C．， D．，1，

【解析】不妨设a < b < c，则：， 解之的， 故，
k=2
k=k+1

开始

结束
输出k
是
否
由此知所求集合为，．
【答案】B

2．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是
A．3 B．4
C．5 D．6

【解析】第一次下来，k=3，a=43=64，b=34=81；
第二次下来，k=4，a=44=256，b=44=256；
第三次下来，k=5，a=45=1024，b=54=625．
满足，故跳出程序．
【答案】C

3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如
图所示，则它的体积是
正视图
俯视图
2
1.6
2
1.5
A． B．
C． D．

【解析】；
；
．
【答案】C

4．关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①若∥，∥且∥，则∥； ②若，且，则；
③若，∥且∥，则； ④若∥，且，则∥．
其中真命题的序号是
A．①②　 B． ③④ C．①④　　 D．②③

【解析】借用正方体即可判断出正确与否．
【答案】D

5．已知抛物线的焦点为，关于原点的对称点为P．过作轴的垂线交抛物线于、两点．有下列四个命题：
①必为直角三角形； ②不一定为直角三角形；
③直线必与抛物线相切； ④直线不一定与抛物线相切．
其中正确的命题是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【解析】当时，|y|=p；∴ MF=NF=PF= p，故∠MPF=∠NPF=45°，即∠MPN=90°；
当M在第一象限时可得直线PM的斜率为，可得直线PM方程为；
　　　即，带入得
　　　故直线PM与抛物线只有一个交点，∴直线必与抛物线相切．
【答案】A

6．设实数、满足：，则的最小值是
A． B． C．1 D．8

【解析】作出可行域．
∵，
设，易得当过的交点P（—2，—1）时有最小值—4，故．
【答案】B

7．现定义，其中i为虚数单位，e为自然对数的底，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于
A． B．
C． D．

【解析】（其实为欧拉公示）

【答案】A

8．下列四个函数图象，只有一个是符合（其中 为正实数，为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，之间一定成立的关系是
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
①
②
③
④

A． B． C． D．

【答案】A

9．若函数，则函数在，上的不同零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】注意分段．
，
，
当时，，
则上恒成立．
故在上为单调递增函数，
又，，
故在上有1个根．
同理可分析得在，上各有1个根，在上无根．
综上可知在，上，方程共有3个根．
【答案】B

10．定义在（—1，1）上的函数f(x)满足：；当时，有
；若，
，R＝f(0)．则P，Q ，R的大小关系为
A． B． C． D．不能确定

【解析】∵函数f(x)满足：；当时，有；
令得f(0)=0；令x=0得．
∴在（—1，1）为奇函数，单调减函数且在（—1，0）时，
，在（0，1）时；
∴R＝f(0)=0，．
∵,
∴

Q—．
P=．
【答案】C

非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用
黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．若展开式中二项式系数之和是1024，常数项为，则实数的值是 ．
【解析】．
【答案】

·
Ⅲ

Ⅱ
Ⅰ
12．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月
球附近一点变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆
轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以F
为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第
三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用和
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的
长，给出下列式子：
①； ②； ③； ④．
其中正确的式子序号是______________．

【解析】②中：，③中：．

【答案】②③

13．在中，已知内角，边，则的面积的最大值为 ．

【解析】由，得，
根据正弦定理，得，
，
∴
，
其中，故得的最大值为．
【答案】
解题探究：本题主要考查解三角形、三角恒等变形和三角函数最值的求法等基础知识和基本方法．根据题设条件，由正弦定理，将三角形的面积表示成角的三角函数，通过三角恒等变形将其化为形式，再由角的范围即可求得的最大值．

14．已知映射：P（m，n），，．设点，A（1，3），B（3，1）点M 是线段AB上一动点，：．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为 ．

【解析】理解映射的内容即可解出本题．
【答案】

15．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an }的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是 ．

【解析】因为，，
则的取值范围 （等于不等的转化）
另解：（确定主元）得．
【答案】

16．设行列式，引进表示D中元素所在的行与列都抹掉后的剩余部分，同时记，则有行列式的求值公式， ，当，即时，上述的求值公式又可改写为—
，则行列式_________________．

【解析】，可以令，
故有，
按照展开，降阶为形，在用公式—即可求出答案．
【答案】
解题探究：本题主要考查考生的阅读能力和计算能力．本题背景为大学数学《线性代数》，考生应当有对新定义、陌生的知识等有较强的适应能力．

17．已知函数，下面有关于该函数的四个命题：
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的定义域是R，且其图象有对称轴；
④对于任意，（其中是函数的导函数）．
其中正确的是_________ ．

【解析】①三角函数与一次、二次等函数作积或商操作后一般都不具周期性，如等；
②这个函数的图像类似与物理当中作阻尼运动的振子，当时，，故
必定有最值；
③将代替代入得，故有对称轴；
④求导，在上取几个特殊的值代入看看是否满足即可．

【答案】②③

三、解答题：本大题共7小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
在中，角A、B、C的对边分别为，且满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求面积的最大值．

【解析】
解：（1）条件可化为： ．
根据正弦定理有 ．
∴，即．
因为，所以 ，即 ． …………………7分
（2）因为 ．
所以 ，即 ，
根据余弦定理 ，
可得．
有基本不等式可知．
即，
故△ABC的面积．
即当a =c=时，
△ABC的面积的最大值为． ………………… 14分

19．（本小题满分14分）
设数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数，．
【解析】
解：（1）由
令，
当时，
① 当时，
② 当时，，． …………………7分
（2）当时，要证，只需证．
只需证．
因为

．

当综上所述 ………………………14分

20．（本小题满分15分）
如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；[来源:Zxxk.Com]
A
O
B
C
D

（2）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

【解析】
y
A
O
B
C
D
(第20题)
x
z
解法一：
（1）解：如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，
则A (0，0，2)，B (0，2，0)，
D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．
设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，
由　得
取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．
因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，
由平面COD⊥平面AOB得＝0，
所以cos＝0，即＝． ………………………7分
（2）设二面角C－OD－B的大小为，
由（1）得
当＝时， cos＝0；
当∈(,]时，tan≤－，
cos= ＝＝－，
故－≤cos＜0．
综上,二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．…………15分
解法二：
（1）解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，
F
C
A
O
B
D
(第20题)
G
E
因为平面AOB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD＝OD，
所以BE⊥平面COD，
故BE⊥CO．
又因为OC⊥AO，
所以OC⊥平面AOB，
故OC⊥OB．
又因为OB⊥OA，OC⊥OA，
所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，
即＝． ………………………………………7分
（2）解：当＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；
当∈(,]时，
过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，
则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．
在Rt△OCF中，CF＝2 sin，OF＝－2cos，
在Rt△CGF中，GF＝OF sin＝－cos，CG＝，
所以cos∠CGF ＝＝－．
因为∈(,]，tan≤－，
故0＜cos∠CGF＝≤．
所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为 [－，0]． ……………15分

21．（本小题满分15分）
如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限．.
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线、OA、OB的斜率分别为，求椭圆方程．

【解析】（本小题满分15分）
解：（1）设切点，且，
由切线的斜率为，
得的方程为，又点在上，
，即点的纵坐标． …………5分
（2）由（1）得，切线斜率，
设，切线方程为，由，得．…………7分
所以椭圆方程为，且过，．………9分
由，
， …………………11分
∴

．
将，代入得：，所以，
∴椭圆方程为． ………………15分

22．（本小题满分14分）
设函数的图象与直线相切于．
（1）求在区间上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数，当时，函数的值
域也是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；
（3）设存在两个不等正数，当时，函数的值域
是，求正数的取值范围．

【解析】
解：（1）．
依题意则有：，
所以，解得， 所以．
，由可得或．
在区间上的变化情况为：

0

1

3

4

+
0
—
0
+

0
增函数
4
减函数
0
增函数
4
所以函数在区间上的最大值是4，最小值是0． ……3分
（2）由函数的定义域是正数知，，故极值点不在区间上；
（A）若极值点在区间，
此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；
故在区间上没有极值点；
（B）若在上单调增，即或，
则，即，解得 不合要求；
（C）若在上单调减，即，则，
两式相减并除得：， ①
两式相除并开方可得，
即，整理并除以得：， ②
则①、②可得，即是方程的两根，
即存在，满足要求； ……………8分
（3）同（2），极值点不可能在区间上；
（a）若极值点在区间，此时，
故有①或②
①由，知，，当且仅当时，；
再由，知，，当且仅当时，
由于，故不存在满足要求的值。
②由，及可解得，
所以，知，；
即当时，存在，，
且，满足要求．
（b）若函数在区间单调递增，则或，
且，故是方程的两根，
由于此方程两根之和为3，故不可能同在一个单调增区间；
（c）若函数在区间单调递减，即，，
两式相除并整理得，由知，
即，
再将两式相减并除以得，
，
即． 即，是方程的两根，
即存在，满足要求．
综上可得，当时，存在两个不等正数，使时，函数
的值域恰好是． ……………14分
19
用心 爱心 专心