完全抛物吸引-排斥趋化系统爆破时间的下界估计.pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3研究简报d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 0 0完全抛物吸引-排斥趋化系统爆破时间的下界估计陈雪姣,李远飞,曾 鹏(广州华商学院 数据科学学院,广州5 1 1 3 0 0)摘要:考虑定义在3上的完全抛物吸引-排斥趋化系统.通过设置适当的辅助函数,利用微分不等式技术并推导辅助函数的微分不等式,得到了爆破时间的下界.关键词:吸引-排斥趋化系统;辅助函数;下界中图分类号:O 1 7 5.2 9 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 8 4 0-0 5L o w e rB o u n dE s t i m a t eo fB l o w-u pT i m e f o raF u l lP a r a b o l i cA t t r a c t i o n-R e p u l s i o nC h e m o t a x i sS y s t e mCHE NX u e j i a o,L IY u a n f e i,Z E NGP e n g(S c h o o l o fD a t aS c i e n c e,G u a n g z h o uH u a s h a n gC o l l e g e,G u a n g z h o u5 1 1 3 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:T h e f u l l p a r a b o l i c a t t r a c t i o n-r e p u l s i o n c h e m o t a x i s s y s t e m d e f i n e d o n 3w a sc o n s i d e r e d.B y s e t t i n g a p p r o p r i a t e a n a u x i l i a r y f u n c t i o n a n d u s i n g t h e d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e,t h ed i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t yo f t h e a u x i l i a r y f u n c t i o nw a sd e r i v e d,a n d t h e l o w e rb o u n do f t h eb l o w-u pt i m ew a so b t a i n e d.K e y w o r d s:a t t r a c t i o n-r e p u l s i o nc h e m o t a x i ss y s t e m;a u x i l i a r yf u n c t i o n;l o w e rb o u n d收稿日期:2 0 2 2-1 0-0 3.第一作者简介:陈雪姣(1 9 8 4),女,汉族,硕士,副教授,从事偏微分方程的研究,E-m a i l:A 1 0 3 1 4 0 6 31 6 3.c o m.通信作者简介:李远飞(1 9 8 2),男,汉族,博士,教授,从事偏微分方程的研究,E-m a i l:l i q f d 1 6 3.c o m.基金项目:广东 省 普 通 高 校 重 点 项 目(自 然 科 学)(批 准 号:2 0 1 9 K Z D XM 0 4 2)、广 东 省 教 育 厅 青 年 创 新 人 才 项 目(批 准 号:2 0 2 1 KQN C X 1 3 4)和广州华商学院导师制项目(批准号:2 0 2 1 H S D S 1 6).1 引言及预备知识近年来,抛物趋化模型解的爆破问题得到广泛关注,并取得了许多研究成果.L i等1研究了全抛物K e l l e r-S e g e l模型:ut=u-(upv),(x,t)(0,t*),vt=1v-2v+3u,(x,t)(0,t*),un=vn=0,(x,t)(0,t*),其中是N(N=2,3)上的有界凸区域,i0(i=1,2,3),是L a p l a c e算子,是梯度算子,n是上的单位外法向导数.在p的不同范围上,文献1 得到了解的爆破时间的下界估计.文献2 进一步考虑了R o b i n边界条件下解的爆破时间的下界.L a n k e i t3考虑了如下吸引-支配吸引-排斥趋化抛物系统:ut=u-k1(u v,i),i+k2(u w,i),i,(x,t)(0,t*),vt=v-k3v+k4u,(x,t)(0,t*),wt=w-k5w+k6u,(x,t)(0,t*),(1)其中u是小胶质细胞的密度,v是吸引物质的浓度,w是排斥物质的浓度,t*是可能的爆破时间,ki(i=1,2,6)是大于零的常数,3是有界光滑区域.在式(1)中,用“,i”表示对xi求导,重复英文下标表示求和,即(u w,i),i=3i=1xiuvxi.该模型是阿尔茨(A l z h e i m e r)海默病早期斑块形成的模型,小胶质细胞通过被不同物质吸引或排斥而对不同物质发生反应.这两种信号都是由胶质细胞自身产生的(或者由其他细胞产生,而这些细胞不是模型的一部分,该模型对它们的存在作出反应)4.在齐 次N e u m a n n边 界 条 件 下,如 果 吸 引 占 优,文 献 3 证 明 了 解 在 有 限 时 间 内 爆 破.文献5-1 1 讨论了各种类型偏微分方程解的爆破时间下界问题.受文献2 的启发,本文假设模型(1)满足以下齐次R o b i n边界条件:u=0,vn+c1v=0,wn+c2w=0,(x,t)(0,t*),(2)其中c1和c2是大于零的常数.这种边界条件表示浓度在区域的边界上和外界是有交换的,浓度的方向导数和浓度呈线性关系.初始条件u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x),x,(3)其中u0,v0,w0C1()是已知的非负函数.上述问题研究的关键是设置适当的辅助函数,利用微分不等式技术,推导辅助函数的微分不等式,从而得到爆破时间的下界.本文记(t)=u2dx+2v2dx+2w2dx+k3v,iv,idx+k5w,iw,idx+c1k3v2dA+c2k5w2dA,(4)其中是大于零的待定常数.引理11 2 设是3上的有界星型凸区域,若是C1()上的非负函数,则有(3/2)ndxm1ndx+m2nd()x1/2n/22d()x1/23/2,其中n1,m1,m2是大于零的常数.引理21 2 设0=m i nxn,d=m a xx,是N(N2)上的有界星型区域.则对于C1()上的非负函数,有ndAN0ndx+n d0n-1dx,其中n1.2 爆破时间的下界定理1 设u,v,w是方程(1)-(3)的非负解,其中是3上的一个有界光滑的凸区域.如果解u,v,w在某个有限时刻发生爆破,且u0,v0,w0C1(),则爆破时间t*有下界,且爆破时间的下界由t*(0)1n13/2+n23+n3d给出,其中n1,n2,n3是大于零的常数,(0)=u20dx+2v02dx+2w02dx+k3v0,iv0,idx+k5w0,iw0,idx+c1k3v20dA+c2k5w20dA.证明:令1(t)=u2dx,2(t)=v2dx,3(t)=w2dx.首先,对1(t)求导并利用方程(1)中第一式、式(2)和式(3)及散度定理,可得1(t)=2uu-k1(uv)+k2(uw)dx=-2u,iu,idx-k1u2vdx+k2u2wdx.(5)148 第4期 陈雪姣,等:完全抛物吸引-排斥趋化系统爆破时间的下界估计 类似地,有2(t)=2vvtdx=2vt(vt+k3v-k4u)dx=-2v,i tv,i tdx-2k3v,i tv,idx+2k4v,i tu,idx-2c1v2tdA-2c1k3vtvdA,(6)3(t)=-2w,i tw,i tdx-2k5w,i tw,idx+2k6w,i tu,idx-2c2w2tdA-2c2k5wtwdA.(7)另一方面,有2(t)=2vvtdx=-2c1v vtdA-2v,iv,i tdx=-2c1v vtdA-2v,i(v,i-k3v,i+k4u,i)dx=-2c1v vtdA-2v,iv,idx+2k3v,iv,idx-2k4v,iu,idx-2c1v vtdA-v,iv,idx+2k23v,iv,idx+2k24u,iu,idx,(8)3(t)-2c2w wtdA-w,iw,idx+2k25w,iw,idx+2k26u,iu,idx.(9)联合式(5)(9)和式(4),有(t)-2-2(k24+k26)u,iu,idx-2v,i tv,i tdx-2w,i tw,i tdx-v,iv,idx-w,iw,idx-k1u2vdx+k2u2wdx+2k4v,i tu,idx+2k6w,i tu,idx-2c1v2tdA-2c2w2tdA-2c1v vtdA-2c2w wtdA+2k23v,iv,idx+2k25w,iw,idx.(1 0)利用引理1和Y o u n g不等式,可得-k1u2vdxk1u3d()x2/3v3d()x1/323k1u3dx+13k1v3dx23k1m1u2dx+m2u2d()x1/2u2d()x1/23/2+13k1m1v2dx+m2v2d()x1/2v2d()x1/23/2.(1 1)再利用不等式(a+b)3/2 2(a3/2+b3/2),a,b0和Y o u n g不等式,由式(1 1)可得-k1u2vdx2 23k1m3/21u2d()x3/2+2 23k1m3/22u2d()x3/4u2d()x3/4+23k1m3/21v2d()x3/2+23k1m3/22v2d()x3/4v2d()x3/42 23k1m3/21u2d()x3/2+26k1m3/22-314u2d()x3+23k1m3/21v2d()x3/2+21 2k1m3/22-324v2d()x3+22k1m3/221u2d()x+24k1m3/222v2d()x,(1 2)其中1,2是大于零的待定常数.类似地,有248 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 k2u2wdx2 23k2m3/21u2d()x3/2+26k2m3/22-334u2d()x3+23k2m3/21w2d()x3/2+21 2k2m3/22-344w2d()x3+22k2m3/223u2d()x+24k2m3/224w2d()x,(1 3)其中3,4是大于零的待定常数.其次,利用H l d e r不等式和Y o u n g不等式,可得2k4v,i tu,idxv,i tv,i tdx+k24u,iu,idx,(1 4)2k6w,i tu,idxw,i tw,i tdx+k26u,iu,idx.(1 5)再利用H l d e r不等式和引理2,可得-2c1v vtdA2c1v2tdA+c12(v)2dA2c1v2tdA+c1230(v)2dx+2d0vvdx2c1v2tdA+c1230+d50(v)2dx+d05v,iv,idx,(1 6)-2c2w wtdA2c2w2tdA+c2230+d60(w)2dx+d06w,iw,idx,(1 7)其中5,6是大于零的待定常数.把式(1 2)(1 7)代入式(1 0),可得(t)-2-3(k24+k26)-22k1m3/221-22k2m3/223u,iu,idx-v,i tv,i tdx-w,i tw,i tdx-1-24k1m3/222-d c1205v,iv,idx-1-24k2m3/224-d c2206w,iw,idx+2 23(k1+k2)m3/21u2d()x3/2+26(k1-31+k2-32)m3/224u2d()x3+23(k1+k2)m3/21v2d()x3/2+21 2(k1-31+k2-32)m3/224v2d()x3+c1230+d50(v)2dx+c2230+d60(w)2dx+2k23v,iv,idx+2k25w,iw,idx.(1 8)取=3(k24+k26),1=2k1m3/22,2=2k1m3/22,3=2k2m3/22,4=2k2m3/22,5=0d c1,6=0d c2,并结合式(4),可得(t)n1(t)3/2+n2(t)3+n3(t),(1 9)其中n1=m a x2 23(k1+k2)m3/21-1/2,16(k1+k2)m3/21,n2=m a x26(k1-31+k2-32)m3/22,29 6(k1-31+k2-32)m3/224,n3=m a x2k3,2k5,c1430+d50,c2430+d60.由式(1 9)可得348 第4期 陈雪姣,等:完全抛物吸引-排斥趋化系统爆破时间的下界估计 (t)n1(t)3/2+n2(t)3+n3(t)1.(2 0)设t*是方程(1)-(3)的解发生爆破的最大时间,则l i mtt*(t)=.最后,对式(2 0)从0到t*积分即可完成证明.证毕.注1 由于式(2 0)分母中(t)的最大指数大于1,所以定理1中积分是可积的.注2 下面给出定理1的一个特例.利用Y o u n g不等式,可得n13/214n133+34n1-1.取适当的满足143n1+n2=n3+34n1-1,则t*(0)1n13/2+n23+n3d12(0)13+d=l n1+(0)2(0)22,其中=143n1+n2.参考文献1 L I JR,Z HE N GSN.AL o w e rB o u n d f o rB l o w-u pT i m e i naF u l l yP a r a b o l i cK e l l e r-S e g e l S y s t e mJ.A p p lM a t hL e t t,2 0 1 3,2 6(4):5 1 0-5 1 4.2 李远飞.K e l l e r-S e g e l抛物系统解的爆破现象 J.应用数学学报,2 0 1 7,4 0(5):6 9 2-7 0 1.(L IYF.B l o w-u pP h e n o m e n a f o r t h eS o l u t i o n s t oaF u l l yP a r a b o l i cK e l l e r-S e g e lS y s t e mJ.A c t aM a t h e m a t i c a eA p p l i c a t a eS i n i c a,2 0 1 7,4 0(5):6 9 2-7 0 1.)3 L ANK E I TJ.F i n i t e-T i m eB l o w-u pi nt h eT h r e e-D i m e n s i o n a lF u l l yP a r a b o l i cA t t r a c t i o n-D o m i n a t e d A t t r a c t i o n-R e p u l s i o nC h e m o t a x i sS y s t e mJ.JM a t hA n a lA p p l,2 0 2 1,5 0 4(2):1 2 5 4 0 9-1-1 2 5 4 0 9-1 6.4 L U C A M,CHAV E Z-R O S S A,E D E L S T E I N-K E S HE T L,e ta l.C h e m o t a c t i c S i g n a l i n g,M i c r o g l i a,a n dA l z h e i m e rsD i s e a s eS e n i l eP l a q u e s:I sT h e r eaC o n n e c t i o n?J.B u l lM a t hB i o l,2 0 0 3,6 5(4):6 9 3-7 3 0.5 S ON GJC.L o w e rB o u n d sf o rB l o w-u pT i m ei naN o n-l o c a lR e a c t i o n-D i f f u s i o nP r o b l e mJ.A p p lM a t hL e t t,2 0 1 1,2 4(5):7 9 3-7 9 6.6 李远飞,雷彩明.具有非线性边界条件的趋化性模型解的爆破时间下界估计 J.应用数学学报,2 0 1 5,3 8(6):1 0 9 7-1 1 0 2.(L IYF,L E IC M.L o w e rB o u n do ft h eB l o w-u pT i m ef o raM o d e lo fC h e m o t a x i sw i t hN o n l i n e a rB o u n d a r yC o n d i t i o nJ.A c t aM a t h e m a t i c a eA p p l i c a t a eS i n i c a,2 0 1 5,3 8(6):1 0 9 7-1 1 0 2.)7 李远飞.K e l l e r-S e g e l趋化模型解的全局存在性和爆破时间的下界估计 J.应用数学和力学,2 0 2 2,4 3(7):8 1 6-8 2 4.(L IYF.G l o b a lE x i s t e n c eo fS o l u t i o n sa n dL o w e rB o u n dE s t i m a t eo fB l o w-u pT i m ef o rK e l l e r-S e g e lC h e m o t a x i sM o d e lJ.A p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dM e c h a n i c s,2 0 2 2,4 3(7):8 1 6-8 2 4.)8 YANGX,Z HOU ZF.B l o w-u pP r o b l e m sf o rt h eH e a tE q u a t i o nw i t haL o c a lN o n l i n e a rN e u m a n nB o u n d a r yC o n d i t i o nJ.JD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 1 6,2 6 1(5):2 7 3 8-2 7 8 3.9 P AYN ELE,S ONGJC.L o w e rB o u n d sf o rB l o w-u pi naM o d e lo fC h e m o t a x i sJ.JM a t hA n a lA p p l,2 0 1 2,3 8 5(2):6 7 2-6 7 6.1 0 孙鹏,孔德建,李建军,等.非齐次发展型p-L a p l a c e方程正解的爆破性和存在性 J.东北师大学报(自然科学版),2 0 1 2,4 4(1):1-9.(S UNP,KON GDJ,L I JJ,e ta l.B l o w-u pa n dG l o b a lE x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r I n h o m o g e n e o u sE v o l u t i o np-L a p l a c eE q u t i o n sJ.J o u r n a lo fN o r t h e a s tN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n),2 0 1 2,4 4(1):1-9.)1 1 朱旭生,汤传扬,王莉.欧拉方程组径向对称正规解的爆破 J.东北师大学报(自然科学版),2 0 1 6,4 8(2):3 1-3 4.(Z HU XS,TAN G C Y,WAN G L.B l o w-u po ft h eR a d i a lS y mm e t r i cR e g u l a rS o l u t i o nf o rt h eE u l e rE q u a t i o nJ.J o u r n a l o fN o r t h e a s tN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n),2 0 1 6,4 8(2):3 1-3 4.)1 2 P AYN ELE,P H I L I P P I N G A,V E R N I E RP I R OS.B l o w-u pP h e n o m e n af o raS e m i l i n e a rH e a tE q u a t i o nw i t hN o n l i n e a rB o u n d a r yC o n d i t i o n,J.N o n l i n e a rA n a l:T h e o r y,M e t h o d sA p p l,2 0 1 0,7 3(4):9 7 1-9 7 8.(责任编辑:赵立芹)448 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷