2011版高三数学《6年高考4年模拟》：第九章-解析几何--第二节-圆锥曲线新人教A版.doc

第二节 圆锥曲线
第一部分 六年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010湖南文）5. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】B
2.（2010浙江理）（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题
3.（2010全国卷2理）（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴
即k=，故选B.

4.（2010陕西文）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为
（A） （B）1 （C）2 （D）4
【答案】 C
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以
法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）
所以
5.（2010辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，
则一个焦点为
一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，
，解得.

6.（2010辽宁文）（7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么
（A） （B） 8 （C） （D） 16
【答案】 B
解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则
7.（2010辽宁理） (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)
直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）
8.（2010辽宁理）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
【答案】B
【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。
【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8
9.（2010全国卷2文）（12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【解析】，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，

10.（2010浙江文）（10）设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为
（A）x±y=0 （B）x±y=0
（C）x±=0 （D）±y=0
【答案】 D
解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题
11.（2010重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
【答案】 D
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
12.（2010山东文）（9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
（A） (B)
(C) (D)
【答案】B
13.（2010四川理）（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
Þ
又e∈(0,1)
故e∈
【答案】D
14.（2010天津理）(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。
依题意知，所以双曲线的方程为
【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。
15.（2010广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】B

16.（2010福建文）11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
17.（2010全国卷1文）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
【答案】B
【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析1】.由余弦定理得
cos∠P=

4
【解析2】由焦点三角形面积公式得：

4
18.（2010全国卷1理）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
(A) (B) (C) (D)
【答案】 B

19.（2010四川文）（10）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（0，] （B）（0，] （C）[，1） （D）[，1）
【答案】D
【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，

即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
Þ
又e∈(0,1)
故e∈
20.（2010四川文）(3)抛物线的焦点到准线的距离是
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】C
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4
又交点到准线的距离就是p
21.（2010湖北文）9.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是
A.[,] B.[,3]
C.[-1,] D.[,3]

22.（2010山东理）(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为[来源:W]
（A） (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。
【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
23.（2010安徽理）5、双曲线方程为，则它的右焦点坐标为
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.
【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.
24.（2010湖北理数）9.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.
25.（2010福建理）

A． ①④ B． ②③ C．②④　　　　　D．③④
【答案】C
【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。
【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。

26.（2010福建理）7．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
27.（2010福建理数）2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
二、填空题
1.（2010上海文）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。
【答案】y2=8x
【解析】考查抛物线定义及标准方程
定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x
2.（2010浙江理）（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。
【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题
3.（2010全国卷2理）（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．
【答案】2
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.
【解析】过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，∴M为抛物线的焦点，∴2.
4.（2010全国卷2文）(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________
【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质
设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）
5.（2010江西理）15.点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,,

6.（2010安徽文）(12)抛物线的焦点坐标是
答案：
【解析】抛物线，所以，所以焦点.
【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求，或求出后，误认为焦点，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.
7.（2010重庆文）（13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则____________ .
【答案】 2
解析：由抛物线的定义可知
故2
8.（2010重庆理）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知

中，AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
9.（2010北京文）（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
答案：()
10.（2010北京理）（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的
焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
【答案】（，0）
11..（2010天津文）（13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。
【答案】
【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
由渐近线方程可知 ①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②
又 ③
联立①②③，解得，所以双曲线的方程为
【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。
12.（2010福建文数）13． 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。
【答案】1
【解析】由题意知，解得b=1。
【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。
13.（2010全国卷1文数）(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段
的延长线交于点， 且，则的离心率为 .
【答案】
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析1】如图，,
作轴于点D1,则由，得
,所以,
即,由椭圆的第二定义得
又由,得
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入
，
14.（2010全国卷1理）

15.（2010湖北文）15.已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。
【答案】
【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为
，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
16.（2010江苏卷）6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________
【解析】考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
三、解答题
1.（2010上海文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解析：(1) ；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以D>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．
2.（2010湖南文）19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。

（I） 求考察区域边界曲线的方程：
（II） 如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

3.（2010浙江理）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（Ⅰ）解：因为直线经过，所以,得，
又因为，所以，
故直线的方程为。
（Ⅱ）解：设。
由，消去得

则由，知，
且有。
由于，
故为的中点，
由，
可知

设是的中点，则，
由题意可知
即
即
而

所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
4.（2010全国卷2理）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.
【参考答案】

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.

5.（2010陕西文）20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线 立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。

6.（2010辽宁文）（20）（本小题满分12分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
（Ⅱ）设直线的方程为
联立
解得
因为
即
得
故椭圆的方程为
7.（2010辽宁理）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(I) 求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12分

8.（2010全国卷2文）（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）
（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。
【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。
（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。

（2010江西理数）21. （本小题满分12分）
设椭圆，抛物线。
（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；
（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由
。
(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有
。
由点在抛物线上，，解得：
故，得重心坐标.
由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。
9.（2010安徽文数）17、（本小题满分12分）
椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.
【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.
解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为
【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.
10.（2010重庆文数）（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值.

11.（2010浙江文）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p>0）
的焦点F在直线上。
（I）若m=2，求抛物线C的方程
（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H
求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。

12.（2010重庆理）（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）
已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。
（I） 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（II） 如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。

13.（2010北京文）（19）（本小题共14分）
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。
解：（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知
由 得
所以圆P的半径为
解得 所以点P的坐标是（0，）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以
设，则
当，即，且，取最大值2.

14.（2010北京理）（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得 .
故动点的轨迹方程为
（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积

又直线的方程为，，
点到直线的距离.
于是的面积

当时，得
又，
所以=，解得。
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即 ，解得
因为，所以
故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.

15.（2010四川理）（20）（本小题满分12分）
已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.
解：(1)设P(x,y)，则
化简得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线x2－=1联立消去y得

(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知3－k2≠0且△＞0
设B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝

因为x1、x2≠－1
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)
因此M点的坐标为()
,同理可得
因此
＝
＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，
同理可得
因此＝0

综上＝0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分

16.（2010天津文）（21）（本小题满分14分）
已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.
解方程组得a=2，b=1.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.
（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
由，得。
（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。
令，解得。
由，，

，
整理得。故。所以。
综上，或

17.（2010天津理）（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分
（1）解：由，得，再由，得
由题意可知，
解方程组 得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去Y并整理，得
由得

设线段AB是中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由

整理得
综上

18.（2010广东理） 21．（本小题满分14分）
设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.

当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.
（2）当点C(x, y) 同时满足①P+P= P，②P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。
19.（2010广东理）20．（本小题满分为14分）
一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。

故，即。
（2）设，则由知，。
将代入得
，即，
由与E只有一个交点知，，即
。
同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而，即。

20.（2010广东文）21.（本小题满分14分）
已知曲线,点是曲线上的点，

21.（2010福建文）19．（本小题满分12分）
已知抛物线C：过点A （1 , -2）。
（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。

22.（2010全国卷1理）（21）(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程 .

23.（2010湖北文）20.（本小题满分13分）
已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。
（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

24.（2010山东理）（21）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
。

【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，

25.（2010湖南理）19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域。
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
化
融
区
域

P3(8,6)
已
冰
B（4，0）
A（-4,0）
x
（，-1）P1

26.（2010湖北理）19(本小题满分12分)
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都
是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

27.（2010安徽理数）19、（本小题满分13分）
已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点
在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；
(Ⅲ)在椭圆上是否存在