八年级数学下学期期中考试卷.doc

…………………密……………封……………线……………内……………不……………准……………答……………题……………………
班 级____________ 姓 名____________ 学 号______
扬州中学教育集团2009–2010学年度第二学期期中考试试卷
　　　 　 八年级数学　
（满分：150分；考试时间：120分钟）
合分人
复分人

　　　　　　　　 　 得分＿＿＿＿＿＿

一． 选择题：(每小题3分，共24分，将答案填入下面表格中)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

1．当a b时，下列不等式中正确的是
A． B．a-3b-3 C． D．

2．不等式的解集在数轴上表示为
1

0
2
3
A
1

0
2
3
B
1

0
2
3
C
1

0
2
3
D

3．矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为

4．若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶
5．某反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过点
A． B． C． D．
6．如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且ABC
的周长为18，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为
A．6 B．54 C．36 D．12

7．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．其中正确的是
A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
8．如图，直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上
一点，且∠1=∠2，则S△ABC=( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题：（ 每小题3分，共30分 ）
9．若分式有意义，则x 。
10．在比例尺为1∶4000000的中国地图上，量得扬州市与2008年奥运会
举办地北京市相距27厘米，那么扬州市与北京市两地实际相距 千米。
11.已知函数y=kx(k≠０)与y=的图象交于A,B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为____。
12．如图∠1=∠2，若 （请补充一个条件），则△ABC∽△ADE。
13．如果反比例函数y的图象在第二、四象限，那么k的取值范围是__________。

14.如图所示，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，平放在离树根部12m的地面上，然后他沿着树根和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的目高为1.6m，则树的高度是________________
15．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，
则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是 .
座位号

16．若关于x的分式方程产生增根，则m的值为: .
…………………密……………封……………线……………内……………不……………准……………答……………题……………………
班 级____________ 姓 名____________ 学 号______
17. 在函数 的图象上有三个点（－2，），(－1，)，（，），函数值，
，的大小为 .
18．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折
痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，
那么BF的长度是 ．
三．解答题：
19：（ 每题8分，共16分 ）
（1）计算： (2) 解方程： 　

20．(本题10分)解不等式组,并写出不等式组的整数解．

21．(本题10分)有一道题：“先化简再求值：，其中”，小明做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事?

22．(本题10分) 如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．

23．(本题12分)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB＝4， BE=3，求AE的长；
(3)在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长．

24．(本题12分)某厂从2006年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
年 度
2006
2007
2008
2009
投入技改资金x(万元)
2.5
3
4
4.5
产品成本y(万元／件)
7.2
6
4.5
4
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示
其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)按照这种变化规律，若2010年已投人技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2009年降低多少万元?
②如果打算在2010年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结
果精确到0.01万元)?

…………………密……………封……………线……………内……………不……………准……………答……………题……………………
班 级____________ 姓 名____________ 学 号______
25．(本题12分)如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）求△AOB的面积。
（4）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？
若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请
说明理由．

26．(本题14分)如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）当t为何值时，线段EF把梯形ABCD的面积分成2: 3两部分。
（3）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．

八年级数学期中试卷答案
1-8：BCBBADCC
9．X≠2 10.1080 11.2 12.答案不惟一 13、k>1 14. 4.8m 15. 16.-2 17. y2>y1>y318.
19.(1) (2)无解
20．1≤x<3 整数解：1，2
21．X2+1 2010
22.(1).略（2）B’(-6,2) ，C‘（4，-2）（3） M’（-2x,-2y）
23.(1).证出∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D得出相似
（2）.用勾股定理求出AE=5
(3).由（1）得：，得BF=
24．（1）经分析，此函数为反比例函数，,经验证表格中其它各组数据均符合此函数关系式。
(2).①当x=5时，y=3.6
4.5-3.6=0.9
②.
25.(1)., y=2x-1 (2). (3).
(4).(1,0),( ) , ( -),(2,0)
26.(1).,(2).(3).S五边形CDEPF=S△BCD=8

班 级

密封线内不要答题

同甘共苦

八年级下学期期中考试数学试卷

说明：1、全卷共8页。考试时间100分钟，满分150分．
2、答卷前，考生必须将自己的座号、姓名、班级、学校按要求填写在密封线左边的空格内。
考 号

3、答题可用黑色钢笔、圆珠笔按各题要求答在试卷上，但不能用铅笔或红笔。
第Ⅰ部分 选择题（共30分）
得分
评卷人

一、选择题。（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的4 个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内）
1、在式子，，，， ＋，9 x +,中，分式的个数是（ ）
A.5 　 B.4 C.３ D.２
2、下列各式正确的是（ ）
A． B.
姓 名

C． D.
3、如果把分式中的x和y都扩大10倍,那么分式的值是( )
A.扩大100倍; B.扩大10倍; C.不变; D.缩小到原来的
4、已知关于x的函数y=k(x-1) 和 ,它们在同一坐标系中的图象大致是( )

5、已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B.函数的图象只在第一象限
C．当x＜0时，必有y＜0 D.点（-2，-3）不在此函数的图象上
6、若点(-2,y1)、(-1,y2)、(1,y3)在反比例函数的图象上,则下列结论中正确的是( )
A.; B. C. D.
7、如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（ ）

A B C D
8、现要装配30台机器,在装配好6台以后,采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍,结果共用了3天完成任爷,求原来每天装配机器的台数x,下列所列方程中不正确的是( )
A.; B.; C.; D.
9、下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．12，22，32 C．4，5，9 D．，2，
10、若△ABC中，AB=13，AC=15，AD是BC边上的高，且AD=12 ，则BC的长为（ ）
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
第Ⅱ部分 非选择题（共90分）
得分
评卷人

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．请把下列各题的正确答实填写在横线上）

11、若分式的值等于零，则x的值等于 。
（第6题图）
12、老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图像；乙：第三象限内有它的图像；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小，请你写出一个满足上述性质的函数解析式 。
13、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为36cm2，64cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为__________cm2.。

→
←
3m
4m
“路”
14、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 　 步（假设1米 = 2步），却踩伤了花草.
班 级

密封线内不要答题

同甘共苦
15、如图所示，设A为反比例函数图象上一点，且矩形ABOC的面积为3，则这个反比例函数解析式为 。
16、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（）2+1=2 S1=
（）2+1=3 S2=
（）2+1=4 S3=
请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

得分
评卷人

三、解答题。（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
考 号

17、计算：（每小题5分，共10分）
（1） （2）、

18、解方程：（6分）

姓 名

19、（6分）先化简再请你用喜爱的数代入求值：

20（7分）、已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？

21、（7分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．问：
（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米3000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

22、（7分）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图像如图所示.
（1）写出与的函数关系式；
（2）若当面条的粗细应不小于，面条的总长度最长是多少？

密封线内不要答题

同甘共苦
23（9分）、先阅读下面的材料,然后解答问题:
通过观察，发现方程：
班 级

的解为;
的解为;
的解为;
…………………………
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___________（2分）;
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是_____________（2分）;
考 号

(3) 把关于x的方程变形为方程的形式是_______ _（3分）,方程的解是______ ______（2分）。

24、（9分）某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元价格全部售完，由于服装畅销，服装店又用了2220元再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍仍以每件46元的价格出售，卖了部分后，为了加快资金周转，服装店将剩余20件以售价的九折全部出售，问：
（1） 服装店第一次购买了此种服装多少件？
（2）两次出售服装共盈利多少元？

姓 名

25、（11分）已知反比例函数图象过第二象限内的点A（-2，m）AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3
（1） 求k和m的值；（2分）
（2） 若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，—）
①求直线y=ax+b关系式；（3分）
②设直线y=ax+b与x轴交于M，求AM的长；（3分）
③根据图象写出使反比例函数值大于一次函数y=ax+b的值的x的取值范围。（3分）

2009—2010学年度第二学期期中考试试题 八年级数学试题
（考试时间：90分钟；分值：120 分）
学校：义和镇中心学校 命题人：初三数学备课组
题号
一
二
三
总 分
21
22
23
24
25
26
27

得分

一、填空题（每小题3分，共30分）
1、 当x__________时，分式有意义。
2、 化简：_______________
3、 若，则___________
4、 若分式方程有增根，则a的值为______________
5、 公路全长s千米，某人步行t小时可达到，为了提前半小时到达。步行每小时应多走________千米。
6、 已知反比例函数的图像经过点P（-2，-1），则该反比例函数的解析式为__________
7、 在△ABC中，.
(1) 若a=8,b=6,则c=_________
(2) 若c=20,b=12,则a=__________
(3) 若a=2, ,则a=________,b=___________
(4) 若a:b=3：4，c=10,则a=________,b=___________
甲
丙
乙
8、 如图，以直角三角形的三边为边向三角形外作正方形，已知甲、乙两个正方形的面积分别为4、6，则丙正方形的面积为_____________

y
x
A
D
B
O
C
9、 如图，直线y=-2x-2与双曲线交与点A，与x轴、y轴分别交与点B,C,于点D，如果 ,那么k=_______

10、 有一根7厘米的木棒，要放在长、宽、高分别为5厘米，4厘米，3厘米的木箱中，_______放进去。（填“能”或“不能”）。
二、选择题（每小题3分，共30分）
11、下列各式正确的是 （ ）

12、下列各式：，其中分式有 （ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
13、若分式的值为正数，则x的取值范围为 （ ）
A、x>0 B、x=0 C、x<0.5 D、x为任意实数
14、如果把中的x和y都缩小为原来的，那么这个分式的值 （ ）
A、不变 B、缩小为原来的 C、扩大2倍 D、无法确定
15、反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值为（ ）
A、-1 B、0 C、1 D、2
16、已知点都在反比例函数的图像上，则下列关系正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
17、一直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ）
A、4 B、8 C、10 D、12
A
B
C
D
18、如图，在平行四边形ABCD中，,若AB=5,BC=13,则的值为（ ）
A、10 B、26 C、60 D、65
19、一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其它记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据 （ ）
A、13，10，10 B、13，10，12 C、13，12，12 D、13，10，11
20、甲、乙两人承包一项任务，合作5天能完成。若单独做，甲比乙少用4天，设甲单独做需x天，则可列方程 （ ）
A、x+(x+4)=5 B、x+(x-4)=5 C、 D、

选择题答案表
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

三、解答题（60分）
21、已知x、y满足方程组，求的值。（6分）

22、解方程.(6分)

23、如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A，B两点，与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，，OB=,且点B横坐标是点B纵坐标的2倍。（10分）
（1）求反比例函数的解析式。

A
O
C
D
B
y
x
（2）设点A横坐标为m，三角形ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围。

24、某项工程甲、乙两人合作，8天可以完成，需要费用3520元；若甲独做6天后，剩下的由乙做，还需12天才能完成，这样需要的费用3480元。问：（10分）
（1）甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？
（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？

M
B
Q
C
N
D
P
A

25、如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上。（10分）
（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ, △BCM,△CDN,△ADP的面积。
②正方形ABCD的面积。
（2）设MB=a,BQ=b,利用这个三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程。

A
D
26、如图，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且,求的度数（10分）

C

B

C
A
B
27、某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交流，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量：在A地的北偏东方向，B地的北偏西方向的C处有一个半径为0.7千米的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（）（10分）

答案
一、1.（1）10 （2）16 （3） 4 （4）6 8
2. 3. 4. 2 5. 4 6. 7. 8. 10
9. 4 10. 能
二、
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
A
C
B
D
B
C
C
B
C
三、
21. 22. 无解 23. （1） （2）
24、（1）甲单独完成此项工程需要12天，乙单独完成此项工程需要24天.
（2）甲单独完成此项工程需要3600元，乙单独完成此项工程需要3360元。
25、（1）①△ABQ, △BCM,△CDN,△ADP的面积相等，都等于6
②勾股定理或者是完全平方公式（推理过程略）
26、连接AC.

27、如图所示，过点C作,于D。

承诺人
苏州立达中学校2009～2010学年度第 二 学 期期中考试试卷
初二数学
初二（ ）班 学号 姓名 成绩
一、填空题（每题2分，共20分）
1、函数中自变量的取值范围为________.
2、在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为6 cm，则AB两地间的实际距离为__________m．
3、已知，则代数式的值为____________．
4、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时人体感到最舒适．这个气温约为_______℃(精确到1℃)．
5、已知点A（，y1)，点B(，y2)，点C(，y3)三点都在反比例函数的图象上，并且<0<<，则y1，y2，y3的大小关系是 (用“<”号连接)．
6、当m 时，关于x的方程会产生增根.
7、若把一矩形纸片对折，对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .
8、某学习小组选一名身高为1．6 m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，
一部分同学测量该同学的影长为1．2 m，另一部分同学测量同一时刻旗杆影长为1 5 m ，
那么旗杆的高度是_________m．

9、如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是_________．

（第9题） （第10题）
10、如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标（ ，5），D是AB边上的一点。将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是___________________________。

二、选择题：（每题3分，共30分）
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案

11、下列各式：，，其中分式共有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12、点P（－2，3）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（－2，3） B.（2，3） C. （2，－3） D. （－2，－3）
13、 下列各式中，正确的变形是（ ）
A. B.
C. D.

14、已知，那么下列各式中一定成立的是 ( )
A． B． C． D．
15、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是 （ ）

C
A
BA
DA
OA
EA
FA

16、 如图，是由经过位似变换得到的，点是位似 中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
17、 解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区救灾，前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往，若部队离开驻地的时间为t（小时），离开驻地的距离为S（千米），则能反映S与t之间函数关系的大致图象是 （ ）

A B C D
18、如图所示，给出下列条件：
①；　 ②； ③；　　④．
其中单独能够判定的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

19、如图， ，AC，DE交于M，图中相似三角形共有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
A
C
D
B

第19题

第18题 第20题
20、如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数(x≠0)的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P3A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S1+S2+S3+S4+S5的值为（ ）．
A． 2 B． C． D．

三、解答题：
21、化简：（每小题4分，共8分）
（1）； （2）．

22、解分式方程：（每小题4分，共8分）
(1)． （2）－=

23、（本题满分4分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△AlBl Cl，△AlBl Cl ∽△ABC(相似比不为1)，且点Al、Bl、Cl 都在单位正方形的顶点上．

24、（本题满分8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为．
（1）求两点的坐标及的值；
( 2 )根据图象求出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
（3）若反比例函数图象上一点的纵坐标为8，求的面积；
O

A

25、（本题满分8分）如图，梯形中，，点是边的中点，连结交于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若1，，求线段的长．
C
B
G
D
E
A
F

26、(本题满分8分)某校八年级(1)班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元。经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价(元／桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系。
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该班每年需要纯净水380桶且为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装水与个人买饮料，哪一种花钱更少?
(3)若该班每年需要纯净水仍为380桶，当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算?从计算结果看，你有何感想?(取整数)

27、(本题满分6分) 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，为直线上一动点，将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点；
（1）当点在线段上运动（不与重合）时，求证：；
（2）在（1）成立的条件下，设点的横坐标为，线段的长度为，写出关于的函数解析式；
（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

拟稿：初二数学备课组 校对：谢 潮 审阅：王苏梅 考试时间：90分钟

苏州立达学校2009～2010学年度第 二 学 期期中考试试卷
初二数学（参考答案）
一、填空题（每题2分，共20分）
1． 2．120 3．4 4．23 5．
6． 7． : 1 8． 20 9．2 10．
二、选择题：（每题3分，共30分）
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
B
B
C
D
C
C
A
C
B
B
三、解答题：
21．（1）.； （2）
22．（1）增根，原方程无解； （2）．
23．略．
24．（1） （2）或 （3）15
25.（1）证明：，
，
又，．
（2）解：
，
由（1）知，
则BF=3，

26题

第27（1）证明略 （2），即

（3）是等腰三角形 ①若在线段上，
，又，
，即，，即点坐标
②若在线段的延长线上，交的延长线于，，
又，，
，即，即点的坐标，
故存在使为等腰三角形．