高一数学第十届希望杯全国数学邀请赛试题.doc

第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（第一试）
班级 姓名
一、选择题
1、已知，则等于------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、若，则有--------------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知，，则等于------------------（ ）
（A） （B）―2 （C）―4 （D）
4、线段OA、OB、OC不共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60º，OA=1，OB=2，OC=3，则ΔABC是--------------------------------------------------------------------（ ）
（A）等边三角形 （B）不等边的等腰三角形
（C）直角三角形 （D）钝角三角形
5、已知函数，若方程无实数解，则的取值范围是------------------------------------------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、若，，，，则的大小顺序是--------------------------------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、函数的定义域是------------------------------（ ）
（A） （B）
（C）或 （D）且
8、函数，，若不等式成立，则在的条件下，可以取的值的个数是-------------------（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9、在矩形ABCD中，AB=，AD=，，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当∠CEB=90º时，二面角C-EF-B的平面角的余弦值等于------------（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
10、是两两异面的直线，与所成的角是，与、与所成的角都是，则的取值范围是---------------------------------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
11、函数与函数的图象关于 对称。
12、将函数的图象向左移个单位，再将所得图象上各点的横坐标压缩到原来的，这时所得图象的函数解析式是 。
13、与正方体各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是 。
14、空间四边形ABCD中，AB=AD=3，BC=CD=2，AC=，则AC与平面BCD所成的角等于 。
15、长、宽、高分别为3cm、4cm、12cm的长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，BC=4cm，CC1=12cm，若一只小虫要由A点沿木块表面爬到C1点，最短路径的长度是 。
16、已知，，则的取值范围是 。
17、对于函数（其中），若，则的值等于 。
18、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，则B1点到平面EFCA的距离等于 。
19、是60º的二面角，二面角内一点P到的距离分别是1，2，则P到棱l的距离等于 。
20、定义在R上的函数、、、的图象重合，它们的值域是 。
21、有两块直角三角板，一块三角板的两条直角边的长分别是1，；另一块三角板的两条直角边的长分别是，。这两块三角板有两对顶点重合，且成90º的二面角，则不重合的两个顶点的距离等于 。
22、已知，，则等于 。
23、已知集合，则实数的值等于 。
24、表示：不大于的最大整数，则方程的根是 。
25、已知直线垂直于平面，直线在平面内，那么下面四个命题：
（1）∥Þ^ （2）^Þ∥
（3）∥Þ^ （4）^Þ∥
其中正确命题的序号是 。

第十届“希望杯”全国数学邀请赛（第二试）
班级 姓名
一、选择题
1、已知A：，B：，则----------------------------（ ）
（A）由A可推出B，但由B推不出A。
（B）由B可推出A，但由A推不出B。
（C）由A可推出B，由B也可推出A。
（D）由A推不出B，由B也推不出A。
2、定义域为R的函数满足，这个函数图象的对称轴是--（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、最小正周期为T的周期函数，当时，反函数是（定义域为D），那么当时，的反函数是-------------------------（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、二面角M--N的平面角是60°，直线平面M，与棱所成的角是30°，则与平面N所成的角的余弦值是--------------------------------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、设集合A={1，2}，则从A到A的映射中满足的映射的个数是---（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6、设，记，则-----------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体。正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数值不同的个锐角，则的数值是-------------------------（ ）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
8、方程的整数解的个数是----------------------（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
9、都是奇数，二次方程有实根，那么它的根一定是-----（ ）
（A）奇数 （B）偶数 （C）有理数但不是整数 （D）无理数
10、若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是------------------------------------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
11、已知二次函数，且，
则= 。
12、已知且，
则的值等于 。
13、一个锐角为30°，斜边长为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后斜边两个端点的距离等于 。
14、函数可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和，则= 。
15、设函数，若函数与的图象关于直线对称，则 。
16、圆柱形钢管在运输中被捆紧成正六棱柱的形状，已知每个侧面恰有10根钢管，则整捆钢管有 根。若钢管直径为，则捆钢管的铅丝每圈的长度为 。

17、函数在区间[0，1]上恰好有50个最大值，则的取值范围是 。
36
100
8
图1
18、图1为一个长方体盒子的展开图（重叠部分不计），尺寸如图所示，点P、Q是原长方体盒子中不在一个面上的两个顶点，则在长方体盒子中，P、Q的距离等于 。
19、函数的递增区间是 。
20、若干个正方体形状的积木摆成塔形：上面正方体中下底的四个顶点，是下面相邻正方体中上底各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上，如果所有正方体能直接看到的表面积超过，则正方体的个数至少是 。
三、解答题
21、，方程的两个根是和，且，，又若，试比较与的大小。

P
B
C
D
A
图2
22、图2是以4个腰长为1的等腰直角三角形为侧面的棱锥，其中的四个直角是ÐAPD，ÐAPB，ÐPBC，ÐPDC，求棱锥的高。

第一试答案：
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 9．C 10．D
11．直线 12． 13．8 14． 15． 16． 17．3 18． 19． 20．{0} 21．2或 22．或 23．―1或1 24．， 25．（1）（3）