2023年三角形的概念和性质知识点和练习.doc

【知识梳理】　
一、三角形及有关概念
1．不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接.
2．组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
3．三角形ABC用符号表达为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表达,顶点B所对的边AC可用b表达,顶点A所对的边BC可用a表达.
二、三角形三边的不等关系
1．三角形的任意两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边.
证明：两点之间线段最短.
2．三条线段的长度分别为，若，则三条线段可以构成三角形的条件为或.
三、三角形的分类
我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形.
1．按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类.
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.
腰
腰
底边
顶角
底角
底角

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形.
2．按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
四、三角形的高线、中线、角平分线
1．三角形的高
请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法.

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表达为AD⊥BC于点D
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.
三角形的三条高所在的直线相交于一点.
2．三角形的中线
如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表达为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.

三角的三条中线相交于一点.
3．三角形的角平分线
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表达为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC.

三角形三个角的平分线相交于一点.
想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.

五、三角形的性质
1．角角关系：
（1）三角形的内角和为180°
（2）三角形的外角和为360°
（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
（4）注意平角和周角
2．边边关系：
（1）三角形的任意两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边.
证明：两点之间线段最短.
（2）三条线段的长度分别为，若，则三条线段可以构成三角形的条件为或.
3．边角关系：
在同一个三角形中大边对大角，小边对小角，等边对等角

【练习】
1．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数.

2． 如图，已知∥,平分，平分.试说明∥

3. 如图，已知∥,平分，平分.试说明∥.

填空题：
1.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是 .
2.在Rt△ABC中，一个锐角为30°，则另一个锐角为 度.
3.按三角形内角的大小可以把三角形分为： 三角形、 三角形、 三角
4.已知一个三角形的三条边长为2、7、x，则x 的取值范围是 .
5.已知三角形的两边长分别是2cm和5cm,第三边长是奇数，则第三边的长是 .
6.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=116°，那么∠A的度 是 .

7.若三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶6，则这三个内角的度数分别是 .

选择题：
1.下列各组数中不也许是一个三角形的边长的是（ ）
A. 5，12，13 B. 5，7，7 C. 5，7，12 D. 101，102，103
2.假如直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ ）
A. 9° B. 18° C. 27° D. 36°
3.图中有三角形的个数为 （ ）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
4.直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为（　　）
A.125°  B.135°  C.145°  D.150°
5.假如三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是（  ）
A.锐角三角形    B.直角三角形    C.钝角三角形    D.等腰三角形
作图题：（不规定写作法，保存作图痕迹）
a
1.已知线段a及∠1，①用尺规作△ABC，使得AC=a,AB=2a, ∠A=∠1
②作AC边上的高线BD

1

1．如图，∠AEB=70°，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.

【课后练习】
一 基础巩固训练
填空题：
1.在△ABC中，若3∠A＝∠B＋∠C，则∠A＝
2.若三角形两边长分别为6cm和2cm,第三边长为偶数,则此三角形的周长为 .
3.一个三角形有_____条角平分线,______条中线,_____条高.
4.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则∠A=_____.
5.在△ABC中,∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,则∠B=______.
6.在△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,∠B和∠C的平分线交于点O,则∠BOC=___.
选择：
7.一个三角形的三个内角中，至少有（ ）.
A.一个锐角 B.两个锐角
C.一个钝角 D.一个直角
8.如图,AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,下列说法中,错误的是( ).
A.△ABC中,AC是BC边上的高； B.△BCD中,DE是BC边上的高
C.△ABE中,DE是BE边上的高； D.△ACD中,AD是CD边上的高
9.图中共有三角形的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7

10．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（ ）.
A.50° B.75°
C.100° D.125°

解答题：
11．如图，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数

12．如图，已知∠CBE=95°，∠A=28°，∠C=30°，求∠ADE的度数.