导数的定义及可导条件教案.docx

导数
一、导数的相关概念
1、导数的定义：

例1、用导数的定义求下列函数的导数
（1）
（2）

2、单侧导数（左、右导数）：
（1）、左导数：
（2）、右导数：
例2、求函数在点处的左导数和右导数。

3、函数在点处可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即
例3、已知函数，试判定在是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。

4、导数的几何意义：
曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
例3、求函数在点处的切线方程。

注意：
导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值，它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值，通常记作或。
例5、求函数的导数及其在处的导数值。

5、可导与连续的关系
如果函数在点处可导，那么函数在点处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。
例4、已知函数，试判断在处的连续性和可导性。

6、求函数导数的一般方法：
（1）、求函数的改变量；
（2）、求平均变化率；
（3）、取极限，得导数＝。
例5、求的导数及其在点处的导数值。

例6、 已知，求，。

二、几种常见函数的导数
1、(C为常数) 例如：求下列函数的导数：（1）；（2）
2、( 例如：求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）
3、
4、
5、
6、 例如：求下列函数的导数：（1）
7、
8、例如：求下列函数的导数：（1）；（2）
三、函数的和、差、积、商的导数
1、法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即
2、法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即
3、法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即

例7、求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）

四、复合函数的导数
1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数。由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量。
2、复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x)。
例8、试说明下列函数是怎样复合而成
⑴；
⑵；
⑶；
⑷．
例9、写出由下列函数复合而成的函数
⑴，；　　
⑵，．
例10、求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）y=
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）；　　
（21）
（22）；
（23）
（24）；
（25）．
（26）
（27）
（28）
（29）
（30）
（31）
（32）
例11、利用导数证明，其中．

同步练习
1、数在处可导是它在处连续的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2、在曲线的图象上取一点及邻近一点，则等于（ ）
A. B. C D.
3、已知命题函数的导函数是常数函数；命题函数是一次函数，则命题是命题的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4、设函数在处可导，则等于（ ）

A. B. C. D.
5、设，则等于（ ）
A. B. C. D.不存在
6、若曲线上每一点处的切线都平行于轴，则此曲线的函数必是___。
7、曲线在点处的切线方程是___________。
8、曲线在点处的切线斜率__________。
9、两曲线与在交点处的两切线的夹角为___________。
10、设在点处可导，为常数，则____。
11、已知函数 ，试确定的值，使在处可导。

12、设，求。

13、利用导数的定义求函数的导数。

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