北京市崇文区2009-2010学年度高三数学第二学期统一练习(一)理科.doc

崇文区2009－2010学年度高三数学第二学期统一练习（一）理科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知全集，集合，，则集合

（A） （B）
（C） （D）
（2）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为
(A) 5 (B) 10 （C）15 （D）50
（3）已知是的切线，切点为，，是
的直径，交于点，，则的
半径为
（A）        （B）   
（C）        （D）

（4）已知等比数列为递增数列，且，，则
（A） （B）          （C）          （D）
（5）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为
（A）若则 （B）若则
（C）若，则 （D）若则
（6）设（其中）， 则大小关系为
（A） （B） （C） （D）
（7）2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为
   （A）36 （B）42  （C） 48  （D） 60     
（8）设定义在上的函数 若关于的方程有3个不同的实数解，，，则等于
（A） 3 （B）    （C）    （D）

第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）如果复数（其中是虚数单位）是实数，则实数___________．
（10）若的展开式中的常数项为，则实数___________．
（11）将参数方程（为参数）化成普通方程为                ．
开始
结束

输出
是
否
（12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值分别为          ．

（13）若数列的前项和为，则
若数列的前项积为，类比上述结果，则=_________；
此时，若，则=___________．
（14）定义在上的函数满足，
且当时，，则_________________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题共12分）
在中，角所对的边分别为，满足，且的面积为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值．

（16）（本小题共13分）
为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，，,，,频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在之间的工人有6位．
（Ⅰ）求；
10
15
20
25
30
35
产品数量
0
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
频率/组距
（Ⅱ）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？

（17）（本小题共14分）
B1

A1

C1

B

C

A

M

N

三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（18）(本小题共14分）
已知（）．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围．

（19）（本小题共14分）
已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．
（Ⅰ）证明：直线的斜率互为相反数；
（Ⅱ）求面积的最小值；
（Ⅲ）当点的坐标为，且．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
① 直线的斜率是否互为相反数？
② 面积的最小值是多少？

（20）(本小题共13分)
已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由．

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）
高三数学（理科）参考答案及评分标准 2010.4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
C
C
A
B
D
C
A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11） （12）13,21
（13） ； （14）
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵
∴.
∴.
∵，
∴. --------------------6分
（Ⅱ）∵
∴.
∵，，
∴
∴. -----------12分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在内的人数为
，则（位）． ---------------- 6分
（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在，，,，,
组内的人数分别为2，4，6, 5，3．
设选取这5人不在同组为B事件，则．
答：选取这5人不在同组的概率为． ---------------- 13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明： 连结，．
在中，
是,的中点，
．
又平面，
平面． --------------------4分
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，．
设平面的法向量为．

令，则，．．
平面． --------------------9分
B1

A1

C1

B

C

A

M

N

z

x

y

（Ⅲ）设平面的法向量为
．

令，则
．
．
所求二面角的余弦值为． --------------------14分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）
（1）当，即时，，不成立．
（2）当，即时，单调减区间为．
（3）当，即时，单调减区间为．-------------------5分
（Ⅱ），
在上递增，在上递减，在上递增．
（1）当时，函数在上递增，
所以函数在上的最大值是，
若对有恒成立，需要有解得．
（2）当时，有，此时函数在上递增，在上递减，所以函数在上的最大值是，
若对有恒成立，需要有 解得．
（3）当时，有，此时函数在上递减，在上递增，
所以函数在上的最大值是或者是．
由，
①时，，
若对有恒成立，需要有
解得．
②时，，
若对有恒成立，需要有 解得．
综上所述，． -------------14分

（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设直线的方程为．
由 可得 ．
设，则．

．
又当垂直于轴时，点关于轴，显然．
综上，． ---------------- 5分
（Ⅱ）
=．
当垂直于轴时，．
∴面积的最小值等于． ----------------10分
（Ⅲ）推测：①；
②面积的最小值为． ---------------- 14分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，，
化简得，
又由，可推知对一切正整数均有，
∴数列是等比数列． ---------------- 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为，
∴．
当时，，
又，
∴ ----------8分
（Ⅲ）当时，，此时

，
又，
∴
，
当时，

．
若，则等式为，不是整数，不符合题意．
若，则等式为，
是整数，∴是5的因数．
∴当且仅当时，是整数， ∴
综上所述，当且仅当时，存在正整数，使等式成立．