用配方法解一元二次方程-杨毓均.docx

21.2 .1用配方法解一元二次方程

重庆五十七中:杨毓均
一、 内容及内容解析
1、 内容
用配方法解一元二次方程。
2、 内容解析
二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广，通过消元，将它们转化为一元一次方程求解；一元二次方程可以看成是对一元一次方程在“次”上的推广，通过降次，将它们转化为一元一次方程求解。前面已经对形如的方程用直接开平方进行解决，如果通过配方将方程化为 的形式，那么就可以利用开平方法求解了，这就是配方法的基本思想。
本节课将方程配方化为能运用开平方法求解的方程的形式，进而求出方程的解。配方法不仅为下节课推导一元二次方程的求根公式做好了知识上的准备，而且也是后续学习二次函数等知识的基础。基于以上分析，确定本节课的重点是：理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程。
二、 目标和目标解析
1、 目标
（1）掌握配方法的基本步骤、会用配方法解一元二次方程。
（2）在研究用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会转化思想。
2、达成目标（1）的标志是：知道配方的基本步骤，当二次项系数为1时，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可以把方程一边化为含有完全平方的式子，并知道二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。
达成目标（2）的标志是：能通过对比，发现二次项系数为1时，配方的关键是将方程两边同时加上一次项系数一半的平方；二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1。
三、 教学问题诊断分析
学生在之前的学习中，已经掌握了完全平方式的结构特征，已经具有了一定的转化思想；同时已经掌握根据平方根的意义直接开平方求解一元二次方程。对需要合理变形转化为可以直接开平方形式的方程，学生在以前没有类似的经验，可能出现思维障碍：配方法怎样想到？配方到底配什么？配方中不能做到恒等变形，配方时只在方程一边加上一次项系数一半的平方，而在另一边不加等问题。
基于以上分析，确定本节课的难点是：如何想到配方法。
四、 教学支持条件
利用板书，用框图形式表示配方法解方程的全过程。
五、 教学过程设计
1、 回顾已经学过的解法，为新方法的引入作铺垫。
问题1：解一元二次方程的基本思想是什么？
追问：我们已经会用哪些方法解一元二次方程？
请同学们解下列方程
（1）（x-1）2-9=0 （2）x2+6x+9=24
师生活动：学生回答解一元二次方程的基本思想是“降次”，已经会用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程；然后完成求解三个方程。
老师点评：上面的方程都能化成（x+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得：x+n=±（p≥0）．
设计意图：复习已经学习的解法，让学生明白解一元二次方程的基本思想是“降次”，同时通过求解解形如（x+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．
2、探索“配方法”
求解方程的目的是要以方程为工具解决了生活中的一些实际问题，请看问题
【问题情境】：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为15m2，场地的长和宽分别是多少？
学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．
考虑设场地的宽为xm，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为15m2，得到方程x（x＋6）＝15，整理得到x2+6x－15＝0，
问题2：如何解方程x2+6x－15＝0？
学生回答问题有困难教师再提出如下问题。
追问1：能用前面学过的方法实现“降次”吗？它和刚才解过的哪个方程类似？
学生回答和第二个方程类似
追问2：这两个方程有什么区别？
师生活动：学生通过比较发现方程x2+6x+9=24左边是一个完全平方式，而方程x2+6x－15＝0左边不是一个完全平方式，这就会引起学生思维的碰撞。
追问3：怎么才能把x2+6x－15＝0左边变成一个完全平方式？
师生活动：学生通过交流互动想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=15可以化为
x2+6x＋9=15＋9，即（x＋3）2＝24，问题解决。
追问4：为什么在方程x2+6x＝15的两边加9？加其他数可以吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、发表意见。同时教师再举几个例子，引导学生发现：要想使方程左边化成完全平方式，当二次项系数为1时，需要对二次式加上一次项系数一半的平方，加其他数不能把方程左边的式子化成完全平方式，所以不行。
设计意图：通过一系列教师追问，引导学生通过比较方程x2+6x+9＝24和x2+6x－15＝0，获得配方的基本思路和步骤。
问题3：什么是配方法？
师生活动：通过把二项式x2+bx配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
3、练习巩固
利用配方法解下列方程：
（1）x2－8x + 1 = 0；（2）
学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x－4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数3，然后再进行配方，即，方程两边都加上,方程可以化为
4、归纳总结
教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题。
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
（2）用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
（3）用配方法解一元二次方程的过程中注意哪些问题？
配方
转化
一次方程
开方
降次
师生活动：配方法解一元二次方程的基本思路是通过把二项式x2+bx配成完全平方式，从而实现“降次”；即
在学生解决问题的过程中，让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（2）方程两边同时除以二次项系数a；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
设计意图：学生自主完成、合作探究，通过解几个具体的方程，归纳出配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的一般过程．
5、能力拓展
解关于x的方程：
师生活动：学生自主完成含字母系数的方程，对有困难的学生给予指导。
设计意图：让学生解字母系数的方程，其目的是在利用直接开平方“降次”时，要有意识对右边的项进行讨论，培养学生分类讨论思想，同时加深对方程解的情况的理解，这两个题目也是为下节课的内容作充分的准备。
6、作业布置
P9练习，p173、8、9、12
六、目标检测设计
（1）（2）（3）
设计意图：考查配方法解一元二次方程。

反思： 通过本节课的教学，大部分同学能利用配方法解一元二次方程，并
能独立讲述用配方法解一元二次方程的步骤。明白了用配方法解一元二次方程关键是配方，都能正确在方程两边加上一次项系数的平方。
通过本节课的教学发现也存在着一些问题：其一，完全平方式写错。把两数差的平方写成了两数和得平方。其二，非负数的平方根求错，或二次根式未化成最简二次根式。其三，移项未变号。其四，少数同学配方时左边加了一次项系数一半的平方，但右边忘记加。针对上面各种情况教师利用课余时间对存在问题的学生逐个讲解。

板书设计：
21.2.1配方法
降次
开方
转化
1、 把配成完全平方式解一元二次方程的方法叫做配方法
2、 配方法解一元二次方程的思路

配方

一元一次方程

移项
解：

配方

两边加上一次项系数一半的平方

开方

求解

学生板书

4