二次函数y=a(x-h)2的图象和性质-(4).doc

二次函数
一、求解析式
例1已知二次函数的图象与轴交于A（－2，0），B（3,0）两点，且函数有最大值2，求二次函数的解析式。

例2 已知二次函数的图像经过（3，0），（2，-3）两点，且以为对称轴，求这个二次函数的解析式。

变式题：
1.如图1，直线与抛物线交于轴上A点和另一点D，抛物线交轴于C点，且CD∥轴，求抛物线的解析式。

图1

·

2.如图，已知二次函数，当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是取三个不同值时二次函数的图像，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（ ）
A、 B、.
C、 D、

二、图形变换
例3 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为
例4：抛物线与轴交于点A，B，A点在B点左边，抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与轴交于点B，D，若直线与，共有3个不同的交点，则的取值范围是 。

变式题：
3.函数的图像是由抛物线经过怎样的平移得到的？

4.将抛物线绕它的顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式.

5.如图，抛物线的顶点为P（-2,2），与，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P’（2，-2）处，点A的对应点为A’，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 。

三、二次函数的最值
例5 在二次函数，当时，的取值范围是 。
变式题：
6.（1）在二次函数当，求 。
（2）在二次函数中，当时， 。

四、二次函数与几何的综合
例6 如图，抛物线两点，顶点M关于轴的对称点是
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与此抛物线的另一个交点为C，求的面积；
O
M
B
A

M’
C
（3）是否存在过点A、B两点的抛物线，其顶点P关于对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

变式题：
7、如图1所示，二次函数的图像与轴交于A，B两点，且A点的坐标为（-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD的解析式.
O
x
B
A

D
图1
O
图2
B
A

D
E
F
x
（2）如图2所示，过轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a，如果不存在，请说明理由.

课内测试
1.已知二次函数的图像经过（3，0），（2，-3）两点，且以为对称轴，求这个二次函数的解析式 。
2.若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为 。

3.二次函数的图像如图所示，则函数值
A. B. C. D.

4.已知抛物线的图像如图4所示.
1
2
-1

（1）判断
（2）求；
（3）下列结论：①②，③， ④，
⑤.其中，正确的有
，请说明理由。

5. 在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）
A
B
C
D

O
O
O
O

6.已知二次函数的图像如图6所示，记。
则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.

7.如图，已知抛物线.我们约定：当任取一值时，对应的函数值分别为。若，取中较小值记为M；若记.下列判断：①当时，M=②当时，值越大，M的值越大；③使得M大于4的值不存在；④若，则
其中正确的有（ ）
A.①② B. ②③
C. ②④ D. ③④

8.已知抛物线与
（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标.
（2）点D是抛物线与的交点，点C是抛物线上的另一点.已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标.
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上的一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.
①当t为 秒时，的周长最小；当t为 秒时，是以AD为腰的等腰三角形（结果保留根号）.
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图所示，抛物线交于A，B两点（点B在点A的左侧），与，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是上的一个动点，设点P为（，过点P作的垂线交抛物线与点Q.
（1）求点A，B，C的坐标.
（2）当点P在线段OB上运动时，直线分别交BD，BC于点M，N.试探究为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由.
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

课外练习
1.点A（2，）、B（3，）是二次函数的图像上的两点，则为 （填“>”、“<”、”=” ）.
2. 将抛物线绕它的顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式
3.若函数的图像与轴只有一个交点，那么的值为（ ）
A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0，2或-2
4.如图所示是抛物线图像的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3），与轴的一个交点B（4,0），直线与抛物线交于A,B两点，下列结论：
①②；③有两个相等的实数根； ④抛物线与的另一个交点是（-1,0）；⑤，其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤

图4

4

y
xy
y
y
y
y

y

y
图7

5.如图5，抛物线与直线交于A，B两点，（1）A,B两点的坐标分别为 ；（2）当x取值范围是 时，.
6.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则 , = .
7.如图7，一条抛物线与相交于A,B两点,其顶点P在折线C—D—E上移动，若点C,D,E的坐标分别为（-1,4）,（3,4）,（3,1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.如图所示，对称轴为直线的抛物线经过A（-1,0），C（0,5）两点，与另一交点为B.已知M（0,1），E（a,0），F（a+1,0），点P是第一象限内的抛物线上的动点.
（1）求此时抛物线的解析式.
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标.
（3）若是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形MEFP周长最小？请说明理由.

9.我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是 .
（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1,1）时， ；
当顶点坐标为（）， .
（2）继续探究，如果，且过原点的抛物线的顶点在直线上，请用含的代数式表示.
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点在直线上，横坐标依次为1,2，…，（为正整数，，分别过每个顶点的垂线，垂足记为点以线段为边向右作正方形，若这组抛物线中有一条经过点，求所有满足条件的正方形.

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