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一致收敛性判别及应用

摘要：函数是高等数学中重要的内容之一，但是函数项级数与函数列的一致收敛性问题往往是初学者学习函数的最大障碍，本文对函数项级数、函数列的一致收敛性的常用判别方法进行简单分析并阐述其应用。
关键词：函数项级数 函数列 一致收敛 判别法及应用

设为定义在区间Z上的函数序列，假如那么就存在x1，x2∈Z，当|x1-x2|＜，对于一切n有||＜，则称之为函数序列在区间Z上等度连续。
假设函数列与函数定义在区间Z上，假如对于任意给的正数
||＜
以上情况则称之为在区间Z上一致收敛于。

一、函数列及其一致收敛性
假设，，，，是一列定义在同一数集Z上的函数，那么则称为定义在Z上的函数列，可以表达为：
或，n=1,2，。 （1）
以x0∈Z带入以上数列，可以得出以下数列：
（2）
假如数列（2）收敛，那么则称为数列（1）在点收敛，x0则是函数列（1）的收敛点，当函数列（1）在数集DZ上每一个收敛点都出现收敛时，则称（1）在数集D上收敛，这时候D上面的每一个点x都有相应的数列的一个极限值与之相对应，根据这个对应法则所确定的D上的函数，则称为函数列（1）的极限函数假如将此极限函数记作为，那么则有：

或者是：
（），x∈D
例1 设，n=1,2，，为定义在（-，。

证明：设＞0，当＞0时，由于有：
||=||，
只要N（=，当n＞（
||=|xn|＜|x|N=.
当x=0，x=1，对于任何正整数n，都存在
||=0＜，
||=0＜.
以上结果证明了在上收敛。
例2 定义在上的函数列，n=1,2，。
由于对于任何的实数x，都存在
≤，
因此，对于任意＞0，只要符合n＞N=，就存在
＜
所以，函数列的收敛域为。

二、一致收敛判别法
对于函数项级数的一致收敛性判别方法早有人研究过，且硕果累累，常见的判别方法有：柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等等，在这里我们就不一一介绍了，下面介绍比较常用的判别法。
莱布尼兹判别法
定理一：设在区间上的连续函数列，且对于，都存在
（1），其中N+，
（2）.
则交错函数顶级数在上一致收敛。
证明：
已知函数列在区间上单调减少且收敛于0，每一项也都存在连续。
而，
所以在连续非负，由狄尼定理可以得知函数项级数在区间
在区间一致收敛于0。
又存在
因此有界，即是的部分与函数列在区间
由狄利克雷判别法我们可以知道：交错函数项级数在区间一致收敛。
例3 证明在区间
证明：是任意闭区间的连续函数列，且存在
x∈，，，
由定理一：设在区间上的连续函数列，且对于，都存在
（1），其中，
（2）.
则交错函数顶级数在上一致收敛。我们可以知道，函数项级数在区间一致收敛。
M一判别法
定理二： 设有函数级数，存在一收敛的正项级数使得对于∈1，存在
则函数项级数在区间I一致收敛。
证明：从以上条件已知，即是＞0，N∈，x∈I有|-|＜，即是＜，
又因为存在收敛，则也存在收敛，由M-判别法得出函数顶级数在区间I一致收敛。
上面我们谈了函数项级数的判别法，下面我们简单阐述函数列的判别法。
（一）点的收敛
函数列在点收敛于，指的是：，N属于自然数，当n＞N的时候，存在
.
注：在以上情况中，对于，满足其收敛定义要求的自然数N不是固定不变的，是有无穷个的。我们可以推理为，假如N满足了收敛定义的要求，那么N+1，N+2，N+n都满足收敛定义的要求。以上的无穷多个自然数N，构成一个无穷自然数集合E=﹛﹜。这在点的收敛，实质上是一个数列的收敛问题。
（二）、逐点收敛
假设函数列在点集E上面收敛于，即是∈E，都在这一个点收敛于，这时候存在。（注：是与以及有关的，且与两者都有关，对于不同的，有着不同的
（三）、一致收敛
假设在点集E上的函数列与函数，对于，当n＞N时，∈E时，则存在，那么则称为函数列在点集E上一致收敛于。下面进行论述：
例4： =在（1＞a＞0）上存在共同的N；同时，在上不存在共同的大N。
证明：从中我们可以得知，∈（-1,1），那么则存在
=0
即是： =在（-1,1）内收敛于=0.
对＞0，要使n＞N与a≥x≥-a成立，则必须使成立
当x≠0的时候，存在n＜，只要n＞N，那么就会存在n＜
即是：当n＞（成立
只需要将N的取值范围定在即可， N的值就是共同的大N（在
再证：当x∈的时候，存在 对于（自然数）都存在
=2N＞N =∈
使成立。
这说明了集合不存在上界。
所以： =在上不存在共同的大N，即是在

三：一致收敛性的应用
从以上我们可以基本的了解函数顶级数及函数列的一致收敛性，下面我们在此基础上对一致收敛性的基本应用进行理解：
（一）、内闭一致收敛
假设E作为区间，假如对于任意E，在上都一致收敛于，那么则称为在区间E内闭一致收敛于。
若在区间E内闭一致收敛于，则在E上收敛于
=，虽然在上一致收敛，即是对（-1,1）内任何一个闭区间上都一致收敛，以上性质称之为内闭一致收敛。下面我们继续以上定义：
对∈E，那么一定存在E，使
由于在E内闭一致收敛于，因此，在上也收敛于，我们可以很明显的看出收敛于，从而在E上收敛于。反之则不一定成立：
例如在（-1,1）内闭一致收敛于0，但是在（-1,1）内则不一致收敛；在上不一致收敛，当然在（-1,1）内不一致收敛。
（二）、近于一致收敛
设与定义在点集E的函数，如对＞0，eE使＜而在E\上一致收敛，则称之为在E上近于一致收敛，即是：当去掉一个测度可以任意小的某点集之后一致收敛。
从以上我们可以得知：内闭一致收敛，对于E确定义为区间，对于＞0（预先得知的）可以使得集合E\之测度小于（因为对于点集E，总是存在闭集EE（F\E）＜，所以，对于区间绝对成立）。以上说明了内闭一致收敛，当然近一致收敛。反之则不一定成立。
例五：定义在的函数列
（当x为无理数）
在近于一致收敛于0，但是在不收敛（不内闭一致收敛）。
例6：已知函数序列=），n=1，2，在区间上连续且可微，证明在上一致收敛。
证明：函数序列在区间上连续且可微，且存在M=1，对于任意的x∈及n∈N，
则存在
=
由以上内容可知=），n=1，2，在区间上一直连续。
我们证明一致收敛的时候可以采取反向证明法，即是证明函数的不一致收敛，证明不一致收敛的常用方法如下：
①、利用定义证明。
②、利用求极值的方法， =，假如Sup||0（n），那么在I上不一致收敛；如果n（x）（x）（n）（x∈I），但是Sup0（n），则在I上不一致收敛。
③、利用Cauehy准则（适用于函数顶级数与函数列).
④、利用与函数或者极限函数的不连续性。
⑤、利用各种结论
函数顶级数与函数列的一致收敛性存在很多证明与应用，需要我们更加细致的去探索。

参考文献
[1] 赵书改,曹怀信.小波级数的部分和的一致收敛性[J].兰州理工大学学报,2012,38(2):146-149.
[2] 赵书改,曹怀信.小波级数的一致收敛性[J].纺织高校基础科学学报,2012,25(1):30-32.
[3] 王振乾,彭建奎,王立萍等.关于函数项级数一致收敛性判定的讨论[J].甘肃联合大学学报（自然科学版）,2010,24(4):111-113.
[4] 赵书改,曹怀信.高维小波展开式的一致收敛性[J].山东大学学报（理学版）,2010,45(10):89-92.
[5] 何挺.函数列一致收敛性和Dini定理[J].安顺学院学报,2012,14(3):127-129.
[6] 毛一波.函数项级数一致收敛性的判定[J].重庆文理学院学报（自然科学版）,2006,5(4):55-56.
[7] 龙明生,欧阳耀.紧集上单调函数序列的收敛性[J].宜春学院学报,2011,33(8):27-28.
[8] 李晓红,马占春.函数列一致收敛性的推广[J].高师理科学刊,2007,27(4):13-14,17.
[9] 高慧.含参量非正常积分一致收敛性的几个判别方法[J].延安职业技术学院学报,2011,25(3):99-101,104.
[10] 刘秀梅.函数列在不同区间上一致收敛性的研究[J].大学数学,2008,24(6):160-164.