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考研数学幂级数逐项积分和求导后的收敛性分析
来源：文都教育
在考研数学中，高等数学中的无穷级数是数学一和数学三的必考内容，每年都考，而在无穷级数这一部分，幂级数的求和是其中最重要的一部分。幂级数的求和有多种方法，其中最常用的一种方法是对幂级数进行逐项积分或求导，然后利用一些已知幂级数的和函数求出原幂级数的和。为了使各位考生对这种方法有更深的理解，下面文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供大家参考。

一、 幂级数逐项积分和求导后的收敛性分析
定理1：幂级数的和函数在其收敛域上可积，并有逐项积分公式，逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论1：若逐项积分后的幂级数的收敛域为，则 .
证明：由定理1知，逐项积分后的幂级数在上每一个点都收敛，因此.
定理2：幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导公式，逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论2：若逐项求导后的幂级数的收敛域为，原级数的收敛域为，则 .
证明：因为逐项求导后的幂级数再逐项积分后得，它与原幂级数仅相差一个常数，因此其收敛域为，由推论1知.

二、 典型例题分析
例1. 比较幂级数的收敛域与逐项积分后所得幂级数的收敛域。
解：的收敛域显然是（-1,1），逐项积分后所得的幂级数为，当时，幂级数发散，当时，，由莱布尼茨判别法知，幂级数收敛，因此其收敛域为[-1,1），这说明逐项积分后的幂级数的收敛域比原级数的收敛域大。
例2. 比较幂级数的收敛域与逐项求导后所得幂级数的收敛域。
解：这是例1的逆问题，的收敛域是[-1,1），逐项求导后所得幂级数是，其收敛域是（-1,1），这说明逐项求导后所得幂级数的收敛域比原级数的收敛域小。
例3. 下列命题中正确的是（ ）
(A) 若幂级数的收敛半径为，则.
(B) 若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。
(C) 若幂级数的收敛域为[-1,1]，则的收敛域也为[-1,1]。
(D) 若幂级数的收敛域为[-1,1]，则的收敛域也为[-1,1]。
解：正确选项是(D)。根据幂级数和函数的性质，的和函数在其收敛域[-1,1]上可积，且（），而逐项积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径，因此级数的收敛域为[-1,1]。
其它选项都是错误的，这可以通过下面的反例来说明：
如：取，此时的收敛半径为，但不存在，这说明选项(A)和(B)都是错误的；
再取，此时的收敛域为[-1,1]，但在处发散，其收敛域为[-1,1），这说明选项(C)是错误的。

由上面的定理和推论知，幂级数逐项积分和逐项求导后所得的幂级数都与原级数的收敛半径相同，但收敛域可能不同，它们之间的关系是：逐项积分后所得幂级数的收敛域包含原幂级数的收敛域，而逐项求导所得幂级数的收敛域被包含于原幂级数的收敛域之内。从上面的例题中我们也看到了，三者之间可能是不相同的，希望大家能理解这一点。最后文都蔡老师祝愿各位考生能取得圆满成功！

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