【全程复习方略】(陕西专用)2013版高考数学-5.2-等差数列课时提能演练-理-北师大版.doc

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 5.2 等差数列课时提能演练 理 北师大版
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2012·宝鸡模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　)
(A)18　　　(B)36　　　(C)54　　　(D)72
2.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，那么S9＝(　　)
(A)2 (B)8 (C)18 (D)36
3.(预测题)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝(　　)
(A)24 (B)22 (C)20 (D)－8
4.已知数列an＝则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝(　　)
(A)4 800 (B)4 900 (C)5 000 (D)5 100
5.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，Sn是数列{an}的前n项和，则
(　　)
(A)S5>S6 (B)S5<S6
(C)S6＝0 (D)S5＝S6
6.(2012·衡水模拟)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( )[来源:Zxxk.Com]

(A)22 (B)21 (C)20 (D)19
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.(2012·郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝　　　　　　.
8.若{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和S100等于　　　.
9.(2012·宿州模拟)项数大于3的等差数列{an}中，各项均不为零，公差为1，且＋＋＝1，则其通项公式为　　　　.
三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)
10.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列.
11.(2012·西安模拟)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【选做•探究题】
设同时满足条件：①≤bn＋1(n∈N＋)；②bn≤M(n∈N＋，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.
(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；
(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由.

答案解析
1.【解析】选D.设等差数列首项为a1，公差为d，
∵a4＋a5＝18，∴a1＋3d＋a1＋4d＝18，
即2a1＋7d＝18，
∴S8＝8a1＋＝8a1＋28d＝4(2a1＋7d)＝4×18＝72.
2.【解析】选C.设等差数列的公差为d，则由a1＋a3＋a11＝6[来源:Z.xx.k.Com]
可得3a1＋12d＝6，∴a1＋4d＝2＝a5，
∴S9＝＝9a5＝9×2＝18，
因此答案为C.
3.【解析】选A.∵ 数列{an}为等差数列，
∴a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，即a8＝24.
∴2a9－a10＝a9＋(a9－a10)＝a9－d＝a8＝24. K]
4.【解析】选C.由题意得a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100
＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100
＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100
＝2×＋100＝5 000.
5.【解题指南】根据公差d<0和|a3|＝|a9|可知a3＋a9＝0，从而确定出a6＝0，然后根据选项即可判断.
【解析】选D.∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0，
且a3＋a9＝0，∴a6＝0，a5>0，a7<0，∴S5＝S6.
6.【解析】选C.由题意知(a1＋a4＋a7)＋3d＝93，
∴99＋3d＝93，d＝－2，∴3a1＋9d＝99，a1＝39.
∴Sn＝na1＋＝39n＋
＝－n2＋40n，
由二次函数的图像可知，当n＝20时，Sn取得最大值，又Sn≤Sk恒成立，∴k＝20.
7.【解析】∵＝＝，∴a1＝d，
∴＝＝＝.
答案：
【方法技巧】巧解前n项和的比值问题
关于前n项和的比值问题，一般可采用前n项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时，Sn＝na中，也可利用首项与公差的关系求解.另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列{an}与{bn}都是等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝.
【变式备选】等差数列{an}中，若＝，则＝　　　　.
【解析】＝＝×＝1.
答案：1
8.【解析】∵{an}、{bn}都是等差数列，
∴{an＋bn}是等差数列，a1＋b1＝20，a100＋b100＝100，
∴S100＝＝6 000.
答案：6 000
9.【解析】∵＋＋＝1，
∴(－)＋(－)＋(－)＝1，
∴－＝2，
∴a12＋2a1－3＝0，解得a1＝1或a1＝－3(舍)，
∴an＝1＋(n－1)×1＝n.
答案：an＝n(n∈N＋)
10.【证明】∵an＋1＝2an＋2n，
∴bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，
∴bn＋1－bn＝1.
又b1＝a1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
11.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，则
由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16 ①
由a3a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55 ②
由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，
即256－9d2＝220.
∴d2＝4，又d>0，∴d＝2，代入①得a1＝1.
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
(2)令cn＝，则有an＝c1＋c2＋…＋cn，an＋1＝c1＋c2＋…＋cn＋1，
两式相减得an＋1－an＝cn＋1，由(1)得a1＝1，an＋1－an＝2.
∴cn＋1＝2，cn＝2(n≥2)，
即当n≥2时，bn＝2n＋1，又当n＝1时，b1＝2·a1＝2，[来源:Zxxk.Com]
∴bn＝.
于是Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋23＋24＋…＋2n＋1[
＝2＋22＋23＋24＋…＋2n＋1－4＝
－4＝2n＋2－6，即Sn＝2n＋2－6.
【选做•探究题】
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，
解得a1＝8，d＝－2，
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
(2)由－Sn＋1＝
＝＝＝－1<0，
得<Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①.
而Sn＝－n2＋9n＝－(n－)2＋(n∈N＋)，则当n＝4或5时，Sn有最大值20，
即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.
综上，数列{Sn}是“特界”数列.
【变式备选】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围.
【解析】(1)由题意知S6＝＝－3，
a6＝S6－S5＝－8.
所以解得a1＝7，
所以S6＝－3，a1＝7.
(2)∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a12＋9da1＋10d2＋1＝0.[来源:Z|xx|k.Com]
由于关于a1的一元二次方程有解，
所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，
解得d≤－2或d≥2.
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