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变速行程问题

课程简介：
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
例题精讲：
例1. 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？

例2. A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇。如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇。如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距多少千米？

例3. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时行多少千米？

例4. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？

例5. 甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行（不一定同时出发），甲骑自行车，乙步行。两人在距A地500米处第一次相遇。甲继续走到C地后发现忘带东西，于是将速度提高一倍，立即返回A地，并在距A地400米处追上乙。甲到达A地后不作停留立即前往B地，在距A地300米处与乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。那么BC两地相距多少米？

例6. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步。如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高，而乙的速度立即减少，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是多少米？

例7. 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的三分之二。甲跑第二圈的速度比第一圈提高了三分之一，乙跑第二圈的速度提高了五分之一，已知沿跑道看，从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？

例8. 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快四分之一，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？

巩固练习：
1. 小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时速度的3倍，所用时间减少了40分钟。小张送货时，从甲地到乙地用了多少分钟？

2. 上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是8点多少分？

3. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。他们相遇时，甲比乙多跑90米。相遇后，乙的速度减少50%，甲到B后立即调头，追上乙时离A地还有90米，那么AB两地的之间的距离是多少？

4. 甲、乙两人同时从环形跑道的同一点出发，同向而行，甲以相同的速度跑了3圈，乙第一圈的速度是甲速度的二分之一，第二圈速度是甲的1.5倍。第三圈跑完后，与甲同时到达终点，乙第三圈的平均速度是甲的多少倍？

5. 甲车以每小时160千米的速度，乙车每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速三分之一而乙车则加速三分之一。问在两车的速度刚好相等的时刻，他们分别行使了多少千米？

6. 丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫比原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次，使丁丁的玩具以原来的速度的N×10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按多少次遥控器？
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