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素数分布论
作者姓名：弯国强
作者单位：漯河市舞阳县莲花镇仁和小学
E-mail：632158@

摘 要：素数分布主要研究什么呢？我认为主要应从三个方面进行研究：一、素数的个数公式；二、素数的生成公式；三、素数分布的性质。精确的素数个数公式，是研究素数分布的基础，离开了素数个数公式的研究，素数分布的研究就是无源之水，素数个数公式的研究一直是素数分布中的一个重要问题，因此，我们首先要研究素数的个数公式；其次找到素数的生成公式一直是人们梦寐以求的理想；最后就是对素数的各种性质进行研究，这样才能对素数的分布有的一个全面的理解。本文围绕素数的分布，利用分析的观点，证明了真正的素数定理：

摈弃了原来粗糙的素数定理的近似公式

深刻揭示了欧拉函数与素数个数之间的关系以及欧拉函数分析化的一个重要结论
，
找到人们梦寐以求的能够生成全体素数的素数公式

关键词：素数、合数、筛法、素数分布、素数定理、素数公式
中图分类号：O156.1
素数在纯数学中是一个使数学家迷恋的字眼，它是那么简单，又是那么神秘。说它简单是因为它是整数的基石，既便是上过小学的学生都知道什么是素数；但是它又那么神秘，从古至今，多少数学家都想弄明白它的规律，却始终无法弄明白它的分布规律是什么。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。素数分布就像一首神奇的乐章，美妙动听，引诱着一代又一代的数学家为了研究明白它的分布规律而殚精竭虑，费尽心机，可是至今仍没有一个数学工作者真正清楚素数分布的规律是什么？研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。
素数分布主要研究什么呢？我认为主要应从三个方面进行研究：一、素数的个数公式；二、素数的生成公式；三、素数分布的性质。精确的素数个数公式，是研究素数分布的基础，离开了素数个数公式的研究，素数分布的研究就是无源之水，素数个数公式的研究一直是素数分布中的一个重要问题，因此，我们首先要研究素数的个数公式；其次找到素数的生成公式一直是人们梦寐以求的理想；最后就是对素数的各种性质进行研究，这样才能对素数的分布有的一个全面的理解。本文围绕素数的分布，利用分析的观点，证明了真正的素数定理：

摈弃了原来粗糙的素数定理的近似公式

深刻揭示了欧拉函数与素数个数之间的关系以及欧拉函数分析化的一个重要结论
，
找到人们梦寐以求的能够生成全体素数的素数公式

人们研究问题常用的一个基本思想，就是从最简单的问题着手，并将复杂的问题转化为简单的问题去处理。对素数分布的研究也需要按照这个方法进行才能透砌地理解素数的实质。基本概念
素数，又称质数，只有两个正因数（1和本身）的自然数。 除了1和本身外还有别的约数的数称之为合数，而1和0既非素数也非合数。在素数中，只有2为偶数，其余的全为奇数，并且，当素数p＞3时，p一定是6k±1的形状（k为整数）。
对于正整数n，定义π(n)为不大于n的素数总个数。n表示n的算术平方根，[n]表示不超过n的最大整数。m为整数，当2≦≦[n]时，表示自然数n的前部质数，m为前部素数的个数，；j为整数，当[n]﹤≦n时，表示自然数n的后部质数，j为后部素数的个数。所以π(n)＝m+j。
连续素数：由小到大不间断的素数称作连续素数。例如：２、3、5、7、11……还可以表示为：其中为素数i=1、2、3、……表示素数由小到大的次序。
一个数是否是素数，还没有一般的判别方法，但是对于一个给定的数，我们可以找出所有不超过它的素数，因而也就判定了给定数n本身是不是素数。
定理1：任大于1的整数n，除1外的最小正因数q为素数，并且当n为合数时。
证明：若q不能是素数，那q除1，q外还有真因数,由知，也是n的异于1的正因数，这与q的最小性矛盾，故q是素数。
当n为合数时，设n=qp, p也是n的异于1的一个正因数，由q的最小性，，这样不等式两边同乘q，可以得到。命题证毕。
推论1：“若自然数n不能被不大于的任何素数整除，则n是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
证明：若n为合数，由定理1， n的最小正因数q为素数，且，这与题设矛盾，故n为素数。命题得证。
根据推论1，可以求出不超过正整数n的一切素数，具体方法是：
首先写出1，2，3，…………n—1，n
划去1，剩下第一个数是2，因为2没有小于自身的真因数，所以2是一个素数。
留下2，从2起，再划去2的倍数，第一个留下来未划去的是3，3没有小于自身的真因数，所以3是素数。
留下3，从3起，再划去3的倍数，第一个留下来未划去的是5，5没有小于自身的真因数，所以5是素数。
这样继续做下去，当我们把所有不大于的素数的倍数都划去后，剩下的数就是所有不超过n的素数。这个方法就是古老的筛法，也叫埃拉托塞尼筛法。

素数的个数公式
素数分布一直是数论中最重要的和最有吸引力的中心问题之一.由于素数在自然数中时而多,时而少.素数的分布极不规则，素数的出现规律一直困惑着著名的数学家，而且也是一个长久困扰数学届的难题。人们从来没有发现一个精确的质数计算公式，这是由于素数的分布规律性太隐蔽了，以致很久都没有大的突破，不过还是发现了一些近似的计算公式。
1800年,发现了一个近似公式:用π(x)表示不超过x的素数个数,当x足够大时,； 1849年,发现了对于足够大的x的"素数平均分布稠密程度"，素数平均分布稠密程度" 也就是,这就是 A.-M.勒让德和C.F.高斯猜测即通常所称的素数定理，它是素数分布理论的中心定理。这个猜想的证明最初毫无进展。在这方面首先做出贡献的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右证明了存在两个正常数с1,с2，使得不等式成立,其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿达马和C.J.de la瓦莱·普桑彼此独立而又几乎同时证明了素数定理。他们的证明都使用了高深的复变函数论知识。1949年，A.赛尔伯格和P.爱尔特希给出了素数定理的初等证明，除了极限、lnx和e的性质之外，没有用到其他的分析知识，但证明过程十分复杂。素数定理揭示了素数在自然数中的平均分布情况。尽管数学家对素数定理给予了很高的评价，然而这个定理却是如此粗糙，与素数的分布相差很大，甚至可以说是错误的。虽然数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长的经验公式，但这不表示它们的数值随着x增大而相等。
这些公式都是素数个数的近似公式，而不是精确公式，并不能称为素数个数的准确计算公式。要想得到素数个数的精确公式，我们可以用两种方法得到素数个数的精确公式，用集合的观点和分析的观点才可以彻底解决这个困惑数学家的难题。
首先我们用集合的观点来给出素数的个数公式。“集合”是一种数学语言，关于集合的详细概念，我就不多说了，我们只定义一下我们要用的概念：集合元素的个数。若集合 A 中有 n 个元素，记作：在公式的推导中还要用到一个集合的原理，容斥原理：
；

记 ={不大于Ｎ能被素数整除的数}， ={不大于Ｎ能被素数 整除的数}……
={不大于Ｎ能被素数整除的数}, 表示Ｎ的前部素数，且为连续素数。表示 中能 整除的个数。
，，
定理2：（素数的个数公式）所有不大于Ｎ的后部素数的个数j＝即：
　，
所有不大于Ｎ的素数的个数π(N)＝m+j＝m+
　即：
证明：记 ={不大于Ｎ能被素数整除的数}， ={不大于Ｎ能被素数 整除的数}……
={不大于Ｎ能被素数 整除的数}, 表示Ｎ的前部素数，且为连续素数。任意给定正整数Ｎ中，能被能被素数 整除的数的个数为｜，任意给定正整数Ｎ中，能被能被素数整除的数的个数为，……任意给定正整数Ｎ中，能被能被素数整除的数的个数为
表示正整数Ｎ的前部素数，m为前部素数的个数。由容斥原理可知
其中表示正整数Ｎ中能被 或 或……或 整除的所有整数的个数，即不大于Ｎ的所有合数和前部素数之和的个数。那么的补就表示不大于Ｎ的后部素数加１的个数，
即：后部素数的个数j=
又因为
，
，，即：

所以不大于Ｎ的所有素数的个数π(N)＝m+j＝m+

即：

命题证毕。

其次我们用分析的观点来给出素数的个数公式，也就是真正的素数定理。下面就从数论中著名的欧拉函数开始。那么什么是欧拉函数呢？
定义：设n为正整数，所有小于n而与n互素的正整数的个数，由n唯一决定，是定义在正整数集上的一个函数，称为欧拉函数，记作。
当n>1时，由定义易知，，并且充要条件是n为素数。为了理论上的完整，我们规定。下面我们不加证明给出欧拉函数的两个定理，证明可以参考初等数论。
定理3：若，那么。
定理4：设n为正整数，为n的前部素数，那么。
也可以简记为。
设n为正整数，下面我们来证明n的后部素数与1的个数等于。这个地方有很多人产生了错误的认识，错误地认为是不超过n素数的个数或者错误地认为是不超过n的后部素数的个数。
定理5：设n为正整数，为n的前部素数，那么。
证明：设n为正整数，为n的前部素数，若,是p的剩余类。不难知道，所有整数均匀分布在这p个剩余类中，若在1，2，…………，n内任取一个整数a则p∣a的概率定义为1/p,那么p不整除a的概率即为，若是素数，每一个p能否有p不整除a可视为独立事件，故在
1，2，…………，n内，任取一数 b 不能被p整除的概率为，在1，2，…………，n内，不能被p整除的就是后部素数和1，因为前部素数是能被p整除的，。所以等于后部质数的个数加1，又因为前部素数的个数为m，因此，，所以我们有。
即：，命题得证。
推论2：设n为正整数，不超过正整数n的素数的个数为。
定理6：（Euler 乘积公式）设 f(n) 满足 ， 且 ， 则：

证明： 由于 ， 因此 绝对收敛。 考虑连乘积中 p < N 的部分 (有限项)， 由于级数绝对收敛， 乘积又只有有限项， 因此可以使用与普通有限求和及乘积一样的结合律及分配律。 利用 f(n) 的乘积性质可得：

其中右端求和对所有只含 N 以下素数因子的自然数进行 (每个这样的自然数只在求和中出现一次， 因为自然数的素数分解是唯一的)。 由于所有本身在 N 以下的自然数显然都只含 N 以下的素数因子， 因此 ， 其中 R(N) 为对所有大于等于 N 但只含 N 以下素数因子的自然数求和的结果。 由此我们得到：

要使广义 Euler 乘积公式成立， 只需证明 即可。 后者是显然的， 因为 ， 而 表明 ，从而由于 f(n) 满足 ，所以
等号右边是一个收敛的等比数，故我们可以得到
因此广义 Euler 乘积公式也可以写成：

在公式中取就可以得到
推论3：
定理7：（欧拉常数）

证明：设
首先证明，

根据贝努利不等式可以得到

其次证明数列收敛，即证明数列严格减少有下界。
事实上，，有已知的不等式，可以得到：

即数列严格减少，再由已知的不等式，，有

即数列严格减少有下界，根据数列收敛公理，数列存在极限。即

以上我们从定理3开始一直到定理7都为了下面证明一个关于素数分布的中心问题而做的准备工作。有了这些准备工作，我们的证明才有了坚实基础，才使我们的证明更加周密和严谨。那么这是一个什么定理呢？其实也不是一个新的名称，就是我们非常熟悉的素数定理。大家一定感到奇怪，素数定理不是已经证明了了吗？我们熟悉的素数定理是一个非常粗糙的公式，甚至可以说是一个错误的公式。因此，我们有必要重新来认识一下什么才是真正的素数定理。
定理8：设n为正整数，表示不超过正整数n的素数的个数，那么
，
其中
证明：首先我们先要证明一个结论：
如果p是素数，n为自然数，那么
也即是：这是一个把欧拉函数分析化的一个重要结论。
根据推论3：
我们可以把这个结论改写一下，

改写后当时，和是两个等价的无穷小。
我们知道
变形后可以得到

我们把上式中的所有素数按上式写出来，再相加求和可以得到

把（1）式中p的范围扩大到 n得
，代入（2）可以得到

根据定理7：（欧拉常数）

我们可以得到
把（5）式代入（4）式可以得到

所以

把（7）式代入（1）式可以得到

又因为不超过正整数n的素数的个数为，
所以命题证毕。
素数的生成公式
我们知道，素数有无穷多个，为了更好地研究素数，在历史上曾有一个时期，人们企图找一个能表示素数的表达式：即找一个函数f(x)，当取整数值时：都是素数（但不一定包括所有的素数）。
费马研究了形如的数（称为费马数）。1640年费马得到：都是素数，于是费马猜想，所有都是素数。但是1732年欧拉发现是合数，1880年林都利证明了也是合数，这说明不是生成素数的公式。
默森尼研究了形如的数（称为默森尼数）。1644年，默森尼得到，当p取：2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，为素数，但是后来发现，不是素数，这说明也不是素数的生成公式。
虽然至今无理想的的结果，但是人们在研究的过程中得到了许多好的结果，促进了数学的发展，也在现代科技领域中得到应用。
已经证明，素数的整系数多项式表达式是不存在的，因为有定理：
定理9：任何一个次数大于0的整系数多项式f(x)，总不可能对于x的任何自然数取n使f(n)都是素数。
难道真的就没有一个能生成所有素数的公式吗？回答是否定，应用同余的理论我们是可以得到能够生成所有素数的公式的，我们不妨把它叫做素数公式。
根据推论1：若自然数n不能被不大于的任何素数整除，则n是一个素数。我们得到一些素数的集合
，

这个即是著名威尔逊定理。

前三个集合大家都容易理解，我就不再详细说明了，下面我重点证明一下第四个集合。
定理10：（孙子定理）设，，
那么，同余方程组

对于模有唯一解。

其中。定理证明略。
定理11：（素数公式）

证明：因为为连续的素数，所以两两互素，
因为，所以
关于n的同余方程组为

根据孙子定理我们可以得到：对于模方程组有唯一解。

素数的个数公式和素数公式的发现具有重要的理论意义，它们完善了素数理论，又增加了新的理论依据，共同为素数理论奠定了坚实的理论基础。 从而结束了素数的个数没有精确公式，素数没有真正生成公式的历史。素数的个数公式和素数公式完美解决，为证明哥德巴赫猜想提供了坚实的理论基础。从素数的个数公式和素数公式的论证中我们很容易得到在给定前部素数时，素数在区间具有相同的分布规律，因此我们说素数分布具有区间性。素数的分布还有一个重要的性质，那就是素数分布的对称性，这个性质非常重要，它与著名的哥德巴赫猜想有关，下面我们就来论证一下这个性质。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫（Goldbach C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习。1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461,可以把它写成三个素数之和：461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成　　　　　　　257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。欧拉回信说：“这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。哥德巴赫猜想现代叙述：大致可以分为两个猜想：
　　■1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；
■2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
为了方便，我们把两个奇素数之和叫做素数对，三个奇素数之和叫做素数组。
例如：3+3；3+5；3+7；3+3+3；3+3+5；3+5+7。
3+5和5+3只算一个素数对；3+5+3和3+3+5只算一组素数组
从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。267年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，至今仍不得其解。然而这个猜想马上就要被揭开神秘的面纱，露出本来面目。
数学证明的本质是用有限的精确概念和有限的步骤证明无穷的事物。精确概念是推理的基础，用有限的步骤证明无穷的事物是证明的精髓。离开定义,是不能很好地证明哥德巴赫猜想的。在证明哥德巴赫猜想时, 很多人离开最基本的推理基础,而去寻找高深的数学工具,这就背离了证明的初衷,把简单的问题复杂化,和我们做错题了是一样的.真正的证明是简捷完美的,是让你一看就拍案叫绝的,是一种柳暗花明,豁然开朗的感觉.
哥德巴赫猜想证明的思路：首先要给出精确的质数的个数公式,这是证明哥德巴赫猜想的基础,没有质数的个数公式就不能很好地证明哥德巴赫猜想,因为离开了质数的个数公式,证明哥德巴赫猜想就是无源之水,就是空中楼阁;其次,要给出精确的哥德巴赫猜想公式,也就是不超过n的偶数表示成偶数对的公式,以及不超过n的奇数表示成奇数组的公式,这是证明哥德巴赫猜想正确的关键,通过这些公式进行推理论证,不添加任何想当然，才可以真正讲明哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想公式
定理12：设W(n)为不超过n的偶数表示成素数对的总个数， 为第k+1个质数和奇质数列生成素数对的个数，＝π(n－)－k，q为能和奇质数列相加不超过n的质数的个数，q=π([])－1那么，素数对总个数公式：

分析：
设Ｎ＝３０，不超过３０的偶数表示成素数对的总个数分析如下：
３　５　７　１１　１３　１７　１９　２３　２９
每个质数都加３，和不能超过３０，所以３只能和３０－３＝２７以内的质数相加
即：３＋３；３＋５；３＋７；３＋１１；３＋１３；３＋１７；３＋１９；３＋２３
＝π(３０－３)－1，（减１是减去偶质数２）。
每个质数都加５，和不能超过３０，所以５只能和３０－５＝２５以内的质数相加
即：５＋３；５＋５；５＋７；５＋１１；５＋１３；５＋１７；５＋１９；５＋２３
＝π(３０－５)－2，（这是因为５＋３和３＋５重了，要再减去１）。
为了避免重复，加质数时从相应质数加起，这样就不重不漏了。
再用质数７加，和不能超过３０，所以７只能和３０－７＝２３以内的质数相加

即：７＋７；７＋１１；７＋１３；７＋１７；７＋１９；７＋２３
＝π(３０－７)－３
………………………………………………………………………………………………
能和奇质数列相加质数最大不超过１５，即为１３时只有１３＋１３；１３＋１７
以后的质数再加时都超过３０。一般地≤[]，q=π([])-1时，就不能再加了。
我们利用连续的奇质数列，得到了所有大于等于６不超过３０的偶数生成素数对的总个数。显然大于等于６不超过３０的偶数都可以表示成两个奇质数的和。
我们下面给出一般结论严格的证明。
证明：设不超过Ｎ的奇质数列为
，， …………我们要求不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对，就要分析一下怎么才能求得全部偶数生成的素数对，要不重不漏。
首先，两个质数相加不能超过Ｎ；即只能和n－以内的质数相加。
其次，加上的质数（和奇质数列相加的质数）最大为≤[],q=π([])-1。
根据这两条原则：
第１步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ－的每一个质数相加，生成的偶数对为＝π(n－)－1；
第２步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ－的每一个质数相加，生成的偶数对为＝π(n－)－2；
…………………………………………………………………………………………………
第q步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ－的每一个质数相加，生成的偶数对为＝π(n－)－q;
那么不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对总个数为：
W(n)＝＋＋…………，其中为第k+1个质数和奇质数列生成偶数对的个数，＝π(n－)－k，q为能和奇质数列相加的质数的个数，q=π([])-1。
不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对总个数公式：

其中为第k+1个质数和奇质数列生成偶数对的个数，＝π(n－)－k，q为能和奇质数列相加的质数的个数，q=π([])-1。
例如：Ｎ＝１０，q=π([])-1=π(5)－１=3－1=2，＝π(10－)－1＝π(10－3)－1＝3
＝π(10－)－2＝π(10－5)－2＝3－2＝1
W(10) ＝＋＝3＋1＝4
Ｎ＝２０，q=π([])-1=π(10)－１=4－1=3，＝π(20－)－1＝π(20－3)－1＝6；
＝π(20－)－2＝π(20－5)－2＝6－2＝4；＝π(20－)－3＝π(20－7)－3＝6－3＝3；
W(20) ＝＋＋＝6＋4＋3＝13
Ｎ＝30，q=π([])-1=π(15)－１=6－1=5，＝π(30－)－1＝π(30－3)－1＝8；
＝π(30－)－2＝π(30－5)－2＝9－2＝7；＝π(30－)－3＝π(30－7)－3＝9－3＝6；＝π(30－)－4＝π(30－11)－4＝8－4＝4；＝π(30－)－5＝π(30－13)－5＝7－5＝2
W(30) ＝＋＋＋＋＝8＋7＋6＋4＋2＝27
引理：质数的个数公式π(n)是不减函数
证明：
当n+1为合数时，π(n+1)＝π(n)
当n+1为素数时，π(n+1)﹥π(n)
故无论n+1为合数或是素数，总有π(n+1)≥π(n)
所以π(n)是不减函数，所以π(n+1)－π(n) ≥0

定理13：每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和。
分析：要想证明这个定理，只需要证明不超过Ｎ的偶数表示成素数对的总个数公式，当n=2m时是增函数就可以了。

证明：
设W(n)为不超过n的偶数表示成素数对的总个数， 为第k+1个质数和奇质数列生成素数对的个数，＝π(n－)－k，q为能和奇质数列相加不超过n的质数的个数，q=π([])-1那么，素数对总个数公式：

令n=2m(m≥3)，则原公式可以改写成：

根据引理知道质数的个数公式是不减函数，所以
，故

下面我们来证明，

用反证法，
因此
，所以

故

定理14:每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
证明：设Ｎ为任意一个奇数，Ｑ为任意奇质数，则Ｎ－Ｑ为偶数。由定理13得存在Ｐ、Ｍ为奇质数，使得Ｎ－Ｑ＝Ｐ＋Ｍ成立。即Ｎ＝Ｐ＋Ｑ＋Ｍ故命题得证。
定理15：设Y(n)为不超过Ｎ的奇数表示成素数组的总个数， 为第i个质数和第j个质数与奇质数列生成素数组的个数，＝π(n－－)－j，q=π([])-1, q为素数对的类型，为第i型素数对的个数， ＝j＋1－i,
那么，不超过Ｎ的奇数表示成素数组的总个数公式：

分析：
设N=30
奇质数列为：３　５　７　１１　１３　１７　１９　２３　２９
１、 先生成不超过[]＝１５素数对；q=π([])-1＝３
３＋３；　３＋５；　３＋７；　３＋１１（＝４）
５＋５；　５＋７　（＝２）
７＋７（＝１）
２、 生成素数组（被加质数列中的质数不超过Ｎ－－）
３＋３＋３；３＋３＋５；３＋３＋７；３＋３＋１１；３＋３＋１３；
３＋３＋１７；３＋３＋１９；３＋３＋２３（８对，质数不超过２４）
３＋５＋５；３＋５＋７；３＋５＋１１；３＋５＋１３；３＋５＋１７；
３＋５＋１９（６对，质数不超过３０－３－５＝２２）
３＋７＋７；３＋７＋１１；３＋７＋１３；３＋７＋１７；３＋７＋１９
（５对，质数不超过３０－３－７＝２０）
３＋１１＋１１；３＋１１＋１３（２对，质数不超过３０－３－１１＝１６）
=π(30－3－3)－１＝９－１＝８
=π(30－3－5)－2＝8－2＝6
=π(30－3－7)－3＝8－3＝5
=π(30－3－11)－4＝6－4＝2
所以=π(30－－)－j
(i≤j )设最大的＝,因为＋≤[]，所以＋１＝π([]－３)
即：＝π([]－)－１＝４
５＋５＋５；５＋５＋７；５＋５＋１１；５＋５＋１３；５＋５＋１７；
５＋５＋１９（６对，质数不超过２０）
５＋７＋７；５＋７＋１１；５＋７＋１３；５＋７＋１７（４对，质数不超过１８）
=π(30－５－5)－2＝8－2＝6
=π(30－５－7)－3＝7－3＝4
=π(30－－)－j (i≤j ) 设最大的＝,因为＋≤[]，所以＋2＝π([]－5)即：＝π([]－5)－2＝3
７＋７+７；７＋７＋１１；７＋７＋１３（３对，质数不超过１６）
=π(30－7－7)－3＝6－3＝3
一般地：=π(N－－)－j (i≤j )；＝π([]－)－i；q=π([])-1，不超过Ｎ的奇数表示成素数组的总个数公式：

证明：设不超过Ｎ的奇质数列为
，， …………我们要求不超过Ｎ的奇数表示成素数组的总个数，就要分析一下怎才能求得全部奇数对，要不重不漏。
首先，要生成不超过[]偶数对；q=π([])-1

＋；　＋；　……………………＋第1型偶数对
＋；　＋；…………＋第2型偶数对
………………………………………………………………………………………………　
………………………………………………………………………………………………　……………………………………………………………………………………………　……………………………………………………………………………………………　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
＋　第i型偶数对，注+≤[](i≤j)
其次，生成素数组（被加质数列中的质数不超过Ｎ－－）
＋＋；＋＋………………………＋＋
＋＋………………………＋＋
＋＋
＋＋；＋＋………………………＋＋
＋＋………………………＋＋
＋＋
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………＋＋
=π(N－－)－j (i≤j )；＝π([]－)－i＝j＋1－i；q=π([])-1，
不超过Ｎ的奇数表示成素数组的总个数公式：

例如：Ｎ＝３０，q=π([])-1＝π([])-1＝π(7)-1＝3
＝π([]－)－１＝４
=π(30－3－3)－１＝９－１＝８
=π(30－3－5)－2＝8－2＝6
=π(30－3－7)－3＝8－3＝5
=π(30－3－11)－4＝6－4＝2
＝π([]－)－２＝２
=π(30－５－5)－2＝8－2＝6
=π(30－５－7)－3＝7－3＝4
＝π([]－)－3＝1
=π(30－7－7)－3＝6－3＝3
Y(30)＝＋＋＋＋＋＋＝８＋６＋５＋２＋６＋４＋３＝３４

哥德巴赫猜想扩展
　定理16：逆筛法定理：连续奇质数列可以生成连续偶数列。
证明：设不超过Ｎ的奇质数列为
，， …………我们要求不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对，就要分析一下怎么才能求得全部偶数生成的素数对，要不重不漏。
首先，两个质数相加不能超过Ｎ；即只能和n－以内的质数相加。
其次，加上的质数（和奇质数列相加的质数）最大为≤[],q=π([])-1。
根据这两条原则：
第１步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ－的每一个质数相加，生成的偶数对为＝π(n－)－1；
第２步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ－的每一个质数相加，生成的偶数对为＝π(n－)－2；
…………………………………………………………………………………………………
第q步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ－的每一个质数相加，生成的偶数对为＝π(n－)－q;
那么不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对总个数为：
W(n)＝＋＋…………，其中为第k+1个质数和奇质数列生成偶数对的个数，＝π(n－)－k，q为能和奇质数列相加的质数的个数，q=π([])-1。
不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对总个数公式：

其中为第k+1个质数和奇质数列生成偶数对的个数，＝π(n－)－k，q为能和奇质数列相加的质数的个数，q=π([])-1。
根据定理13：每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和。
用这种方法可以生成生成连续的偶数列。命题证毕。
我们把这种由连续奇质数生成连续偶数列的方法叫逆筛法。

定理17：任何一个偶数均可表示成两个奇质数的差。
证明：设不超过Ｎ的奇质数列为
，， …………我们要求不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对（素数对，指两个素数的差），就要分析一下怎么才能求得全部偶数生成的素数对，要不重不漏。
首先，两个质数相减能生成Ｎ内的偶数；即只能和n＋以内的质数相减。
其次，减上的质数（和奇质数列相减的质数）最大为≤,q=π(n)-1。
根据这两条原则：
第１步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ+的每一个质数相减，生成的素数对为＝π(n+)－1；
第２步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ+的每一个质数相减，生成的素数对为＝π(n+)－2；
…………………………………………………………………………………………………
第q步：把分别和奇质数列中不超过Ｎ+的每一个质数相减，生成的素数对为＝π(n+)－q;
那么不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对总个数为：
M(n)＝＋＋…………，其中为第k+1个质数和奇质数列生成素数对的个数，＝π(n+)－k，q为能和奇质数列相加的质数的个数，q=π(n)-1。
不超过Ｎ的全部偶数生成的素数对总个数公式：

其中为第k+1个质数和奇质数列生成素数对的个数，＝π(n+)－k，q为能和奇质数列相减的质数的个数，q=π(n)-1。
令n=2m，则原公式可以改写成：

根据引理知道质数的个数公式是不减函数，所以
，故

下面我们来证明，

用反证法，
因此
，所以

故

根据定理13，每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和。
设N为不小于6的偶数，存在≤，使Ｎ＝+等式两边同时减去2
则可以得到：N－2＝－，又因为≥３，所以N－2≥０，设Ｍ≥０的任意偶数，Ｍ＝－，那么－Ｍ＝－，也就是说对于负偶数也成立。
故任何一个偶数均可表示成两个奇质数的差
定理18：任何一个奇数均可表示成两个奇质数的和与另一个奇质数的差。

证明：设Ｎ为任意一个奇数，Ｑ为任意奇质数，则Ｎ－Ｑ为偶数。由定理13得存在Ｐ、Ｍ为奇质数，使得Ｎ－Ｑ＝Ｐ－Ｍ成立。即Ｎ＝Ｐ＋Ｑ－Ｍ　故命题得证。
定理19：任何一个整数均可由奇质数表示。
证明：由定理17、定理18即可得到。
孪生素数猜想证明
定理20：孪生素数有无穷多对。
证明：设，，…………为连续的质数，因为＝２是偶数与证明无关，去掉不影响证明。我们只用连续奇质数列，…………就行了。
我们先用连续质数列构造一个半开半闭区间序列：
［３，)，［５，)，…………［，)
如果能证明每一个半开半闭区间内至少有一对孪生质数。孪生素数有无穷多对，这个结论就成立了，因为质数是无穷的，我们可以构造无穷多个区间，相应的孪生质数就是无穷的。
下面我们就来证明每一个半开半闭区间内至少有一对孪生质数。
半开半闭区间［３，)的质数组成的集合为{3，５，７}；
半开半闭区间［５，)的质数组成的集合为{５,７,１１,１３,１７,１９,２３}；
………………………………………………………………………………………………………
半开半闭区间［，)的质数组成的集合为{，，…………}；为半开半闭区间［，)上的最大质数。
根据逆筛法定理，我们知道{3，５，７}；{５,７,１１,１３,１７,１９,２３}；
…………{，，…………}；都能生成相应的连续偶数列。相应偶数集合为｛０，２，４，6，８｝；｛０,２,４,6,8,10,12,14,16,18,20，22，24，｝;……………………
………………………………………………………………………………………………………
为奇数时，｛０，２，４，…………，－１｝，共有个偶数。因为偶数列都连续的，所以每个集合中都有孪生质数对。又因为质数是无穷的，所以构造的半开半闭区间也是无穷的，故孪生质数是无穷的。例题证明完毕。
定理21：每一个偶数表为两个质数之差都有无限种表法。
证明：设，，…………为连续的质数，n为任意偶数.因为＝２是偶数与证明无关，去掉不影响证明。我们只用连续奇质数列，…………就行了。
我们先用连续质数列构造一个半开半闭区间序列：
［３，)，［５，)，…………［，)
那么每一个半开半闭区间内至少有一对偶生质数。偶生素数有无穷多对，这个结论就成立了，因为质数是无穷的，我们可以构造无穷多个区间，相应的偶生质数就是无穷的。
半开半闭区间［３，)的质数组成的集合为{3，５，７…………}；半开半闭区间
［５，)的质数组成的集合为{５,７,１１,１３,１７,１９,２３，……………}；
………………………………………………………………………………………………………
半开半闭区间［，)的质数组成的集合为{，，……………………}。为半开半闭区间［，)上的最大质数。
根据逆筛法定理，我们知道{3，５，７…………}；{５,７,１１,１３,１７,１９,２３…………}；…………{，，……………………}；都能生成相应的连续偶数列。相应偶数集合为｛０，２，４…………－１｝；｛０,２,４,…………－１｝;
………………………………………………
｛０，２，４，…………－１｝。
因为偶数列都连续的，所以每个集合中都有偶生质数对。又因为质数是无穷的，所以构造的半开半闭区间也是无穷的，故偶生质数是无穷的。例题证明完毕。
孪生质数的判定

弯国强写于2010年8月23日
参考文献: