速度瞬心法在动能定理中的应用与求解.pdf

西南科技大学高教研究2023 年第 2 期(总第 147 期)速度瞬心法在动能定理中的应用与求解李斌斌(西南科技大学土木工程与建筑学院 四川绵阳 621010)摘 要:速度瞬心是运动学中很重要的概念,在研究刚体平面运动时具有重要作用。但在动力学中的应用却少有论述,文中对速度瞬心法在动能定理中的应用进行了分析与求解。结果表明,在运用动能定理求解动力学问题时,应用速度瞬心法不仅能准确计算出物体系统的动能,而且可以准确分析出物体系统中作用于刚体上任意一点力的功。应用速度瞬心法,更加有利于动力学问题的分析和求解,非常适用于求解分析复杂动力学问题中的瞬变系统问题,速度瞬心法既简单,又可行。关键词:速度瞬心;动能定理;刚体;瞬变系统 速度瞬心是理论力学运动学中很重要的概念,在研究刚体平面运动时具有重要作用,但在动力学中的应用却少有论述1。在刚体平面运动中,只要刚体上任一平行于某固定平面的截面图形在任何瞬变的角速度不为零,平面图形内就必有速度为零的点称为速度瞬心2-3,平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬变转动。如果已知平面图形在某一瞬变的速度瞬心位置和角速度,则在该瞬变图形内任一点的速度可以完全确定。动能定理是动力学的普遍定理之一,是从功与能的角度来分析质点系的动力学问题,给出了动能的变化与功之间的关系4。动能定理的内容:合外力对物体所做的功,等于物体动能的变化量。运用动能定理可以不考虑物体的实际运动过程,只需确定系统初态和末态的动能,并由初态到末态外力作的功,就能方便有效求解,思路比较清晰,方程容易建立。动能定理不仅可以求出速度和角速度,如果所列方程是函数形式(即适用于任意瞬变),将其对时间求导,还可以很容易得到加速度或角加速度,比使用运动学公式求解物理量简单很多5。总的来说,运用动能定理求解动力学问题,具体可概括成两种类型:恒定系统和瞬变系统。恒定系统即物体系统的结构形式不随时间而变化,瞬变系统即物体系统的结构形式随时间存在变化。文中应用速度瞬心法,07对动能定理在恒定系统和瞬变系统中的应用,分别进行了论述与分析。速度瞬心法可使问题的分析更为方便和有效,非常适合于求解瞬变系统的复杂动力学问题。速度瞬心法形象性更好,既简单又可行。一、速度瞬心法在恒定系统中的应用如图 1 所示,跨过定滑轮 A 的细绳,一端系在均质圆盘 A 上,另一端系在物体 E 上。已知物块 E 的质量为 M,滑轮 B 和细绳的质量忽略不计。均质圆盘 A 的半径为 r,质量为 m,外缘上缠绕无重细绳,绳头水平地固定在墙上,圆盘与水平地面的动摩擦系数为 f,其余摩擦忽略不计。系统初始时静止,求当重物 E 下落高度 h 时,重物的加速度。图 1 动力学中的恒定系统案例解:分析由圆盘、滑轮和重物一起组成的质点系,圆盘沿水平绳索 HA 作纯滚动,点 A为速度瞬心,滑轮 B 质量不计,重物 E 向下做直线平动。且在运动过程中,该质点系的运动形式始终不随时间发生变化恒定系统。利用速度瞬心法,建立动能定理方程:(一)质点系的动能初动能 T1=0末动能 T2=12JA2C+12Mv2E,式中 JA为圆盘绕速度瞬心 A 点的转动惯量。JA=JC+mr2=12mr2+mr2=32mr2由点 A 为圆盘的速度瞬心,可得圆盘上C 点的速度 vC=vE,vD=2vC,C=vCr,代入上式:T2=34mv2E+12Mv2E(二)质点系外力的功作用于质点系的外力如图 2 所示,作用于 O 点的约束力 FOx和 FOy作功为零;绳索的拉力 FT作用在速度瞬心 A 点,作功为零;mg 和 FN亦不作功(因为力与受力点位移垂直)。当重物 E 下落高度 h 时,重力作正功Mgh;应用速度瞬心求静摩擦力 FS的功,重物 E 下落高度为 h,即圆盘 C 点的水平位移为 h,由点 A 为速度瞬心 vD=2vC,可得圆盘D 点的位移为 2h,注意不是 h,且作负功2mgfh。图 2 图一中物体系统的受力分析由质点系的动能定理 T2-T1=W,得:34mv2E+12Mv2E-0=Mgh-2mgfh系统运动过程中,速度 vE与下落高度 h都是时间的函数,将上式两端对时间 t 求一17阶导数,有:(32m+M)vEa=(Mg-2mgf)vE求得重物下落的加速度为:a=2(Mg-2mgf)3m+2M通过上述分析可知,将速度瞬心法应用于动能定理求解恒定系统的动力学问题,不仅可以快速计算质点系的动能,还可以准确分析作用于刚体上任意一点力的功,以及静摩擦力的功。应用速度瞬心法有利于问题的求解与分析,且计算时不易出错,有助于提高学生的综合分析能力。二、速度瞬心法在瞬变系统中的应用如图 3 所示的机构中,均质杆 AB 和 BC的质量均为 m,长度均为 l,均质圆盘 C 的质量为 M,半径为 R,沿水平面作纯滚动。在点B 作用一向下的铅垂常力 F,系统开始时静止。求连杆 AB 运动到水平位置时的角速度。图 3 动力学中的瞬变系统案例通过观察分析图中由杆件和圆盘组成的质点系,当连杆 AB 运动到水平位置时,均质杆 BC 也位于水平位置。与初态相比,此时系统的结构形式显然发生了变化,将这类问题称为瞬变系统。针对瞬变系统的问题,文中下面从间接应用速度瞬心法和直接应用速度瞬心法分别进行了分析与求解。间接法求解:由于动能定理的运用可以不考虑物体运动的详细过程,只需确定初态和末态的动能,并由初态到末态外力作的功。因此,利用速度瞬心法求解瞬变系统的问题时,应将问题的重点放在外力作的功、初动能和末动能的计算。因此,需要画出系统的末态结构图,如图 4 所示。图 4 速度瞬心法的间接应用应用速度瞬心法对系统的末态结构进行分析,连杆 AB 运动到水平位置时,点 B 的速度垂直向下。圆盘 C 沿水平面作纯滚动,点D 为速度瞬心,可知圆盘质心点 C 的速度水平向右。应用速度瞬心法对均质杆 BC 进行分析,可知 vB和 vC的速度垂线的交点(瞬心的位置)位于点 C,点 C 为均质杆 BC 的速度瞬心,点 C 的速度 vC=0。对于圆盘 C,由于点 D 为速度瞬心 vD=0,vC=0,可知当连杆AB 运动到水平位置时,圆盘的运动为静止状态。基于上述对系统末态运动的分析,可以很容易计算出末态动能,建立动能定理方程:(一)质点系的动能初动能 T1=0末动能 T2=12JA2AB+12JC2BC,式中 JA27为杆 AB 绕定点 A 的转动惯量,JC为杆 BC 绕速度瞬心 C 点的转动惯量。JA=13ml2,JP=13ml2AB和 BC分别为杆 AB 和 BC 的角速度,即AB=BC=vBl可得 T2=13ml22AB(二)质点系外力的功对图3 的结构进行整体受力分析,见图5。图 5 图三中物体系统的受力分析作用于 A 点的约束力 FAx和 FAy作功为零;静摩擦力 FS作用在速度瞬心 D 点,作功为零;Mg 和 FN亦不作功(因为力与受力点位移垂直)。作功的力只有作用于 B 的外力F 和均质杆的重力 mg。由质点系的动能定理T2-T1=W,得:13ml22AB-0=Flsin+2mg12lsin求得连杆 AB 运动到水平位置时的角速度:AB=3(F+mg)sinml直接法求解:若对该题直接应用速度瞬心法进行求解,则需确定出杆件 BC 和圆盘 C的速度瞬心,则可画出如图 6 所示的速度矢量图。图 6 速度瞬心法的直接应用由图可知,连杆 AB 绕定点 A 作定轴转动。应用速度瞬心法对杆 BC 和圆盘 C 进行分析,圆盘沿水平面作纯滚动,可知点 D 为速度瞬心,质心 C 点的速度水平向右。由速度 vB和 vC可确定杆件 BC 的速度瞬心位于 P点,综上分析可计算出初末动能:初动能 T1=0末动能T2=12JA2AB+12JP2BC+12JD2C式中 JA为杆 AB 绕定点 A 的转动惯量,JP为杆 BC 绕速度瞬心 P 点的转动惯量,JD为圆盘绕速度瞬心 D 点的转动惯量。JA=13ml2,JD=JC+MR2=32MR2JP=JE+mPE2由余弦定理:PE2=l2+14l2-l2cos237AB、BC和 C分别为连杆 AB、杆件 BC和圆盘 C 的角速度,即AB=BC=vBl,C=2vBsinR=2lBCsinR可得质点系的末动能:T2=12JA2AB+12JP2BC+12JD2C=16ml22AB+23ml22BC-12ml22BCcos2+3Ml22BCsin2当杆 AB 运动到水平位置时,=0,代入得:T2=13ml22AB由质点系的动能定理T2-T1=W,得:13ml22AB-0=Flsin+2mg12lsin求得连杆 AB 运动到水平位置时的角速度:AB=3(F+mg)sinml通过上述的分析过程可知,对于瞬变系统的动力学问题,若将速度瞬心法直接应用于动能定理进行求解,数学的分析计算较为复杂,学生的计算能力需较强。若从动能定理的原理出发,即物体的动能与运动的详细过程无关,仅与初态和末态有关。则可仅通过分析初态和末态系统的运动形式,间接应用速度瞬心法求解,不但可以使系统的分析过程简化,无需复杂的数学计算过程,求解思路更加清晰,还有助于学生的力学分析能力的提升。三、结论在运用动能定理求解动力学问题时,应用速度瞬心法更有助于问题的求解分析。速度瞬心法不仅能准确计算出物体系统的动能,还可以准确分析出物体系统中作用于刚体上任意一点力的功,特别是静滑动摩擦力作的功。在运用动能定理求解瞬变系统问题时,既可以直接应用速度瞬心法进行求解,也可以根据动能定理的特点,间接应用速度瞬心法进行求解。间接应用速度瞬心法求解瞬变系统问题,不仅可以使复杂的问题分析简单化,求解思路清晰明确,无需复杂的数学计算过程,还有助于学生力学分析能力的训练和培养。参考文献1 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(I)(第 8 版)M.北 京:高 等 教 育 出版,2016.2 张佃平,张波,苟宁年,等.图文公式并用法在速度瞬心讲述中的应用J.广州化工,2020,48(18):141-142.3 马砚樵,千学明,冯欢,等.速度瞬心必然存在的证明与研究J.机械工程师,2016,(7):31-33.4 许文华.试析理论力学课中动能定理的教学J.机械职业教育,1996,(9):38.5 时术华.速度瞬心在动力学中的应用J.山东师大学报,2001,16(2):212-214.47