导数Microsoft Word 文档.doc

导数：大题21题12分，选择或填空5分
（一）掌握求导，导数运算公式
1．基本函数的导数公式:
①（C为常数）②③; ④;⑤
⑥; ⑦; ⑧.
2．导数的运算法则
法则1： (法则2： 若C为常数,则：
法则3：（v0）。
3.复合函数的导数
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——>求导——>回代。
法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.

（二）导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是:
曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。
即：曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。
相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

（三）导数与函数的单调性
1.设函数在某个区间（a，b）可导：
如果，则在此区间上为增函数；
如果，则在此区间上为减函数。
2.如果在某区间内恒有，则为常数。

（四）导数求极值、最值
1．极点与极值：
曲线的极值点t：则有t点处切线的斜率为0，极值点处的导数；
曲线在极大值点a：左侧切线的斜率为正，右侧为负；
即当，；，
曲线在极小值点b：左侧切线的斜率为负，右侧为正；
即当，；，
2．最值：
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值
但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，
例如。
步骤总结：
①求函数ƒ在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

（五）导数证明（以构造新函数方法为主，偶尔会应用放缩）
例如：
1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值
2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学

4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
5.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

6.（12·辽宁）(21)(本小题满分12分)设，曲线与直线在(0，0)点相切。
(Ⅰ)求的值。
(Ⅱ)证明：当时，。

7.（11·辽宁）21. 已知函数．
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：
（x0）＜0．
答案 (1)单调增加，在单调减少.
（II）（III）详见提示.
提示一 本题考查函数的单调性、不等式的证明.考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数法研究函数的单调性、构造函数和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提.
提示二(1)首先明确函数的定义域，利用求导和对a进行分类确定函数的单调区间；（2）利用构造函数通过求导确定其最小值大于0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明.
提示三（I）
（i）若单调增加.
（ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少. ………………4分
（II）设函数则

当.
故当， ………………8分
（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得
从而
8.（10·辽宁）（21）（本小题满分12分）已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。

（21）解：
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分