用标幺制计算三相电力系统的方法.doc

用标幺制计算对称三相电力系统的方法（ ,西安 李 谦）目录一用标幺制计算电路的方法概述二变压器的标幺值等效电路1. 单相变压器的标幺值等效电路2. 三相变压器的标幺值等效电路三用标幺值计算等效电路的方法1. 计算电路各参数基准值的公式2用标幺值计算等效电路的公式四. 用标幺值计算三相变压器电路的方法1三相对称变压器电路的计算步骤2Y-Y形三相对称变压器电路的计算方法3. 三相变压器在在电路中产生的相位移4. Y-形三相对称变压器电路的计算方法五用标幺制计算三相电力系统的一般方法参考文献一用标幺制计算电路的方法概述在文献4中，作者曾专门介绍过三相电路的计算问题，在那里，我们是把变压器当作电源看待的，计算的是负载的电流或它消耗的功率等，对于变压器本身的参数，并没有涉及。但是，当计算电力系统时，对变压器的阻抗、相位移等参数就必须考虑在内，一并进行计算，也就是把变压器当负载对待。本文就是探讨这个问题的。不过，在这里，我们只介绍处于对称三相电路中的双绕组三相变压器的计算问题。计算这类电路时，一般都是归结为单相电路进行计算。所以，比较简单。至于不对称的三相电路如何计算、三绕组的变压器如何计算，将另作介绍。因为变压器的电压是多级的，用一般方法计算就比较困难，因此，用标幺制计算就比较方便。所谓标幺制就是把普通电气量（如电流、电压、阻抗等）转换为无量纲的量（标幺值），再根据电路原理，对这些无量纲的量进行计算，最后把计算结果再换算为有量纲的量，以求出答案。标幺值的计算公式是 怎样用标幺制计算电路，也有几种不同的方法。本文是为学习文献1的大学生们写的辅导材料，所以，本文介绍的是文献1介绍的计算方法。这种方法在国内有时被称为使变压器变比标幺值为1的方法。这种方法的特点，就是通过计算规则，把变压器的变比标幺值转换为1，这将使计算过程大为简化。用标幺制计算电路时必须遵守某些规则。这些规则是什么？对单相电路来说，两条重要规则是：规则1：在整个电路选择同一个容量基准值为基准值；规则2：把电压基准值的变比选得等于变压器额定电压的变比，即有这里的下标是引用美国课本的用法。其中“base”是基准值的意思；“rated”是额定值的意思。下同。对三相电路来说，也有两条类似的规则：规则1：整个电路的容量基准值是同一个；规则2：变压器高低压侧电压基准值的比值等于高压侧额定线电压跟低压侧额定线电压之比，即有正是因为作了这样的规定，使得变压器的变比标幺值等于1。这将使计算大为简化。式中的“H”代表高压侧；“X”代表低压侧。当我们讨论系统计算时，都是把“两侧”理解为高压侧和低压侧，这样说，比用“一次侧”和“二次侧”更明确。二变压器的标幺值等效电路1. 单相变压器的标幺值等效电路我们知道，对于双绕组的单相变压器来说，其完整的等效电路是以T型电路表示的。当用标幺值表示时其电路也将如图1所示。图1 单相变压器的T型标幺值等效电路其中变压器一次侧的电阻和漏抗，且有；由变压器二次侧归算到一次侧的电阻和漏抗，且有； 励磁支路的导纳和电纳。也可以用它们的倒数电阻和电抗相串联的形式来表示。图中的下标“p.u”表示标幺值。但是，当作电路计算时往往是不予标注的。为了计算方便，也经常把励磁支路置于左端，并且把变压器的两侧阻抗合并成等效阻抗（该值可用变压器的短路试验求出），这就形成了所谓型电路。但是，因为励磁支路的影响较小，在计算时往往把它忽略不计，这就形成了如图2所示的变压器简化等效电路。又因为绕组的电阻跟漏抗相比也是很小的，所以，当作电力系统计算时，也经常是把电阻忽略的。因此，在电路中的变压器经常是以一个等效漏电抗标幺值的形式出现的。在变压器中，等效电抗只有一个，不论从高压侧归算，还是从低压侧归算，都是同一个值。图2 单相变压器的等效电路 图3 理想变压器的等效电路如果把变压器看作是理想变压器，等效电路就会简化为图3。所谓理想变压器是指有以下几个特点的变压器：1. 绕组的电阻为零，即；2铁芯的导磁率是无限的，即磁阻为零；3. 没有漏磁通，即漏电抗为零；4. 没有铁损，即磁滞损和涡流损为零。虽然理想变压器有这些特点，但是，它的变压、变流和转换阻抗的作用跟普通变压器是相同的。最大特点是它本身的阻抗为零，所以，两侧的电流的标幺值是相等的；两侧的电压标幺值也是相等的。因此，当对理想变压器进行计算时，就比较简单。要注意的是说它们的标幺值相等，而不是说有名值相等。因为它们处于电路的不同区段，基准值不同，所以，用有名值表示的参数就可能是不相等的。关于单相变压器电路的具体计算方法，请参看文献4。2三相变压器的标幺值等效电路三相变压器的典型结线方式有Y-Y形、形和形。当计算它们时，经常是把它们画成单线图的样子。其等效电路图跟单相变压器的等效图是相似的。见图4。图4 三相变压器的标幺值等效电路图图中给出了T型等效电路。图中的下标“H”代表高压；“X”代表低压。“Gc”代表励磁电导；“Bm”代表励磁导纳。和为变压器一次侧绕组的电阻和漏抗；和是二次绕组的电阻和电抗归算到一次侧的值。图中的“Ts”代表移相变压器。这种变压器的特点是只改变变压器两侧的相位，对两侧电压和电流的绝对值不作任何改变。也就是说：用传统的变压器概念来看，它是一个变比为1：1的变压器，但是，它能改变变压器两侧的相位关系。所以，在这里可以把它当作一个符号看待。而且只在变压器是结线时，才需要考虑它。根据美国国家标准，结线的变压器，其高压侧的电压和电流总是领先于低压侧电压和电流以30度的。因此有或和或的关系。在我们国家的标准中，高压侧的电压（和电流）是落后于低压侧以30度的，当然，也可以说是高压侧领先于低压侧以330度。因此，正负符号也就有所不同。因为励磁电流和变压器的电阻较小，当计算时（特别是当进行短路计算时），都可以把它们忽略不计，这样，变压器的等效电路就变成图中所示的简化等效电路了。下面介绍一下按简化电路用标幺值计算电路的方法。三用标幺值计算等效电路的方法1. 计算电路各参数基准值的公式为了利用式（1-1）计算标幺值，我们首先列出在三相电路经常使用的几个基准值计算公式。因为本文是学习文献1的心得笔记，所以，公式的下标采用了文献1的标注方法，下式中的“base”表示基准值；“”表示单相；“”表示三相；“LN”表示相电压；“LL”表示线电压。 从式（3-6）可以看出：阻抗是指Y形结线阻抗中的某一相的阻抗。这个公式中容量、电压和阻抗之间的关系源于下式：2用标幺值计算等效电路的公式当用标幺值计算电路时，其公式的表现形式，有时是跟我们习惯的形式相同的。例如，电流标幺值跟阻抗标幺值相乘就是电压降的标幺值。但是，在许多情况下，是跟我们习惯的表现形式不相同的。例如说“高压侧的电流标幺值跟低压侧的电流标幺值是相等的”、“在三相电路中，电压标幺值跟电流标幺值共轭的乘积就是三相视在功率的标幺值”等，就可能感到陌生。因此，在这里我想把用标幺值计算电路的几个常用公式列举出来，供参考：高压侧和低压侧电流标幺值是相等的：Y-Y形结线和形结线的变压器，其高压侧的电流标幺值等于低压侧的电流值标幺值，即有但是，对于结线的变压器，高压侧和低压侧之间有相位移，按美国标准，其高压侧的电流跟低压侧的电流的关系是或高压侧和低压侧电压标幺值之间的关系：因为变压器两侧的功率是相等的，所以，变压器两侧的电动势之间也存在着上述关系，即两侧的电动势的标幺值相等。但是，因为有等效漏抗的存在，高压侧电压的标幺值就不会等于低压侧电压的标幺值。但是，其相位关系跟电流之间的关系是相同的。也就是说，如果高压侧的电流跟低压侧的电流的相位差是25度的话，那么，两侧的电压之间的相位差也是25度。应该特别注意的是：这里说的两侧是指高压和低压间，绝不是说一次侧和二次侧之间。而且，对于升压变压器来说，其低压侧电压的标幺值反倒是大于高压侧的电压标幺值。相电压标幺值跟线电压标幺值间的关系：在同一工况下，相电压的标幺值跟线电压的标幺值是相同的。因为因此，计算时可以互相借用。变压器等效电抗的标幺值在电路中是通用的：如果三相变压器是由三个单相变压器组成的，不管变压器的结线组别是什么，其等效电抗值的标幺值就是单相变压器的等效电抗值标幺值。当计算电路时，不论是把标幺值电抗归算到高压侧或低压侧，也无论是按单相计算，还是按三相计算，电抗标幺值都是同一个值。如果按三相短路实验求等效电抗的话，应该取其平均值作为测量结果。但是，当做系统计算时，如果工况（指它所处情况下的容量基准值和电压基准值）跟出厂时不同时，它的值是要改变的。计算方法见式（3-6）。电压降标幺值的计算公式：如果压降的计算式是，当把两端都除以电压的基准值的话则有如果计算公式是的话，将公式两端同时除以的话，将是即有也就是说，不管是单相电路，还是三相电路，电压降的标幺值计算公式是相同的，都是。 三相复功率标幺值的计算公式：如果单相复功率的计算式是，当把两端都除以视在功率的基准值的话则有如果计算公式是三相复功率的话，将公式两端同时除以的话，将是也就是说，不管是计算单相电路，还是三相电路，复功率标幺值的计算公式是相同的，都是。在三相电路不应该考虑3倍或根号3倍的关系。至于实际量值的大小是取决于容量基准值的。例如，在习题3-47中，电压的标幺值是；电流的标幺值是；三相容量的标幺值是300MVA。用标幺值计算复功率时，复功率的标幺值为实际复功率是即有 和 Q=89.3 Mvar四. 用标幺值计算三相变压器电路的方法1三相对称变压器电路的计算步骤用标幺值计算三相电路的步骤跟计算单相电路的方法基本相同（见文献4）。其计算步骤大体是： 根据变压器所在的位置和数量把电路分成若干区段，如果只有一台变压器，则分为两个区段。为什么要分区？因为变压器两侧的基准值不同，也就是说，不同的区段有不同的基准值。 规定全电路统一的容量基准值，可以任意选，一般都是选择本电路中一个有代表性的容量。但是，在大多数情况下，是选一个10的整数倍的容量。当按单相计算时有。 选择一个基本区段，并把这个区段的电压作为基本电压，其他各区段的电压基准值都是根据这个电压逐级推导的。推导公式是可以认为是本级的，是下一级的。如果按单相计算时有。对第3区的电压基准值也可以用基本区的电压按下式计算余依此类推。 计算出有关区段的电流基准值和阻抗基准值。但是，有些区段没有计算电流或阻抗的任务，就可以不计算它们的基准值。电流基准值的计算公式是其中的“base”表示基准值；“LN”表示相电压；“LL”表示线电压。“”表示按单相的；“”表示按三相的。下同。阻抗基准值的计算公式是计算电阻、电抗的标幺值时，也都是用作基准值的。 根据给出的数据利用式（1-1）计算各个参数的标幺值。在变压器（或发电机和电抗器）的铭牌上都给出阻抗（或电抗）的标幺值的，但是，这是在实际容量和实际电压的基础上由厂家给出的标幺值，在使用条件下设定的新的容量基准值和新的电压基准值，可能跟原有的这个值不相同了，因此，必须根据下式把它们转换为新的阻抗标幺值。转换公式是 各个参数的标幺值计算出来以后，就可以画出标幺值等值电路，并根据电路计算原理对这些没有单位的不同量值的标幺值进行计算了。 把用标幺值表示的计算结果还原为实际值。计算公式是实际值=标幺值该区段相应参数的基准值（46）虽然在课本中没有明确指出用标幺值计算电路的步骤。但是，作者认为：这几个步骤的思路清楚，是非常实用的。作为初学者，必须掌握它。2Y-Y形三相对称变压器电路的计算方法当计算有中线的电路时，可以直接按单相电路的计算方法计算，其等效电路同图2或图4。三相Y-Y形对称电路的等效图也跟图2或图4一样。现在举一个例题予以说明。例1：由三台额定容量为400 MVA、电压变比为13.8 kV/199.2 kV、漏抗标幺值为0.10的双绕组变压器，联结成Y-Y电路。负载也是Y形结线，吸收的功率是1000 MVA、功率因数是0.9(L)、负载的相电压是199.2 kV，求低压绕组的相电压。解：根据题中给出的数据，可以画出其实际结线图如图5所示。图5例1的实际结线图（1）用常规方法计算为了比较，我们首先用常规方法来计算这道题：可以把变压器的二次作为电源看待，并按计算三相电路的通常方法计变压器的高压侧电压。之后，再乘以变压器的变比就可以得到低压侧的相电压了。首先画出等效电路，如图6所示。图6 计算例1的常规等效电路负载电流为负载的功率因数角是因为题中规定是以相电压为参考的，且负载是感性，所以，电流滞后电压以。因此，负载的每相阻抗为再求变压器的电抗：因为标幺值为0.1 per unit，基准值为因此，变压器漏抗的实际值为，所以，当计入变压器的电抗后，电路总阻抗为电路总压降为归算到低压侧时，电压为（2）用标幺制计算的方法用标幺值计算时，最好首先画出电路的单线图，如图7 所示，以便计算。图7 例1的单线图及各区段的基准值让我们用前面介绍的步骤进行计算： 分区：因为只有一台变压器，所以，把电路分为两个区段； 选容量的基准值：因为是三相电路，按规则应该选三相容量1200 MVA为容量的基准值，但是，考虑到用单相计算这个电路，所以，可选单相容量400 MVA为容量基准值。 选基本区并计算各区的电压基准值：本文选第2区为基本区，按规则应该选线电压345 kV为基本电压，因为，打算按单相计算，所以，选相电压199.2 kV为基本电压。这样一来，根据式（41）计算的话（可不必算），第2分区的基准电压就是13.8 kV。 计算阻抗和电流的基准值：因为在第1区没有阻抗和电流可计算，所以，只计算第2区的。根据式（43），第2 区的电流基准值是根据式（44），第2 区的阻抗基准值是 求第2 区段的各标幺值：根据题意和图7知，负载电压的实际值是kV;基准值是199.2 kV(注意：所有的基准值都只选一个数值，不计角度或其他)，因此，负载电压的标幺值是电流的实际值是因为功率因数为0.9（感性），所以，电流滞后于相电压的角度是，即电流的复量是因此，电流的标幺值是因为我们们是把变压器的漏抗划到第2区段了，它所处区段的容量基准值和电压基准值都跟铭牌值是相同的，因此，根据公式（45）进行转换后，其标幺值仍然是0.1 per unit，即有漏抗标幺值为。其标幺值等效电路如图8所示。图8 例1的标幺值等效电路 根据各个标幺值按图7的等效电路计算电压的标幺值： 根据标幺值计算实际电压：因为处于第1区段，而且该区段的电压基准值是13.8 kV,因此，根据式（46）可得可见，其计算结果跟用常规方法计算的结果是完全一致的。3. 三相变压器在在电路中产生的相位移当计算单相变压器在电路中的功能时，我们主要注重它对电流、电压和阻抗的变换作用，但是，在三相电路中，除了要考虑以上功能以外，变压器对电路相位的改变也是必须要考虑的。在电路中的变压器对电压、电流和阻抗的改变程度，取决于变压器的变比；对相位的改变程度则取决于结线方式，即取决于变压器的结线组别（见文献4）。当变压器是Y-Y形结线时，有6种结线组别，分别是Yy0（或Yy12）、Yy2、Yy4、Yy6、Yy8和Yy10；当变压器是Y-结线时，也有6种组别，分别是Yd1、Yd3、Yd5、Yd7、Yd9和Yd11或者是Dy1、Dy3、Dy5、Dy7、Dy9和Dy11。上述的变压器结线方法编号中最后面那个数字就是组别号，组别号是用钟表的时针所处的位置表示的。数字“1”代表一点钟；数字“6”代表六点钟。每差一个钟点就代表相位差30度。所以，当组别编号是6时，就相当相位差是180度。它代表低压侧的电压落后于对应高压侧相应电压的相位角（注：提请读者注意的是：这个相位差是指低压侧的电压落后于高压侧的角度，不是一次侧和二次侧的关系）。例如，我国规定当采用Y-形结线时应采用Yd11或Dy11，这就是说，低压绕组的电压的相位应该滞后对应高压绕组电压的相位是330度角。当然也可以说高压绕组的电压相位滞后于相应低电压以30度角；美国标准规定，当采用Y-形结线时，应采用Yd1或Dy1，也就是说高压绕组的电压应该领先对应低压绕组电压以30度角；或者说：低压绕组的电压应该落后于对应高压绕组电压以30度角。在电力系统，Y-Y结线的变压器都是采用Yy0结线的，因此，它对电路的相位不会产生影响。但是，当变压器是按Y-形结线时，就应该考虑这个影响。怎样来表示相位的变化呢？在美国教科书中是用虚拟的相位变换器来表示的。图9（ a）就是这种变压器，这种变压器的特点是只改变两侧的相位关系，不改变电压的大小。其变比也是用相位表示。例如在图9（a）所示的变压器中，有下述关系因此，和。其相量图见图9 之（b）。也就是说，这种变压器改变了之间的相位关系，因之称为移相变压器。图9 虚拟的移相变压器我们可以用一个统一的公式来表达低压侧电压相跟高压侧相应相电压之间的关系（也可以说是线电压和之间的关系）：式中的k是组别数。例如，对于中国标准，k =11，因此有或 。对于美国标准，k =1，因此有或 应该注意的是：式（48）是根据正相序时的计算公式，如果是负相序，其公式为即正相序的电压相量跟负相序的电压相量是镜像对称的。4. Y- 形三相对称变压器电路的计算方法现在举一个例题来说明移相变压器的作用。例2：由三台额定容量为400 MVA、电压变比为13.8 kV/199.2 kV、漏抗标幺值为0.10的双绕组变压器，按照美国标准联结成-Y形电路。即低压侧是结线，高压侧是Y形结线，并接连Y形负载，负载吸收的功率是1000 MVA、功率因数是0.9(L)，求低压绕组的相电压。解：根据题中给出的数据，可以画出其单线图和等效电路图如图10所示。为了简化，在图（b）中的符号下表没有标注“p.u”字样。图10 例2的单线图和标幺值图这个电路是两个区段，因为是对称电路，所以我们准备用单相法计算，因此选400 MVA为容量的基准值，并选第2区段为基本区段，也就是说选199.2 kV为基本电压。这样，在第2区段电压的标幺值就是为了求低压侧电压，我们还必须求出高压侧电流。它的实际值是因为负载的功率因数是0.9（感性），即当以相电压为参考相量时，有，因此，如果不计入变压器的相位移的话，高压侧电流的复量是。为了把它转换为标幺值，必须求出第2区段的电流基准值，根据式（43）可得该值为（必须注意：基准值只是数字表示的量，不包含角度。标幺值则应该用复量表示）因此，电流的标幺值为另外，在电路中的变压器漏抗，可以根据式（45）把它转换为新的电抗标幺值。但是，因为它目前它所处的位置的参数跟出厂值是相同的，因此，它的标幺值仍然是0.1 per unit。此外，因为变压器是-Y结线，跟Yy0结线相比，有两点差异要予考虑：第一是电压变比问题。因为我们是按单相电路计算的，应该把低压侧的三角形结线也转换为Y形，因此，处于第1区段的电压基准值就应该是。第二：高低压两侧产生了相位差。根据美国标准，-Y结线的三相变压器都是按Yd1或Dy1结线的。即高压侧的电压领先于对应的低压侧电压以30度的（见图10之b图）。对本题来说，有 或 因此，上述的电压和电流的量值都应该据此予以修正，即有这样一来，等效电路再次被简化为图11的样子（图中符号的下标符号省略了“p.u”）。图11 例题2的最后的简化图因此，有当把处于第1区段的标幺值换算为实际值时，则有五用标幺制计算三相电力系统的一般方法在第四节我们介绍了单个变压器的计算方法。如果是两个以上的变压器相连接的话，就构成了电力系统。只要我们掌握了三相电路标幺值的计算方法，把复杂的三相电力系统图画成等效电路就是轻而易举的了。现在举一个例题予以说明。例3：有如下图所示的电力系统。其中：发电机11000 MVA,18 kV,发电机21000 MVA,18 kV,同步电动机31500 MVA,20 kV, 三相结线的三相变压器1000 MVA,电压比为500kV Y/20kV ，X=0.1三相变压器T5 1500 MVA，500 kV Y/20 kV Y,X=0.1。如果忽略变压器的电阻、相位移和励磁阻抗，试画出等效电抗图。设定区段2为基本区，即基准值为100 MVA、基准电压为500 kV。求各个电抗标幺值。图12 电力系统的线路图举例答：因为4台变压器是对称排列的，所以，可以把电路划分为4个区段。按式（41），可以计算出各个区段的电压基准值如上图所示。现在依次计算各个区段内电抗的标幺值：求的电抗标幺值：原容量为1000 MVA，现在容量基准值为100 MVA；原电压为18 kV,现在电压基准值为20kV。所以，根据式（45）可得的电抗标幺值是：求的电抗标幺值：如果把它划归2区（也可以划到1区）计算的话，电压没有改变，但是，容量基准值改变了，根据式（45）可以得到求的电抗标幺值：方法和结果同，为求的电抗标幺值：方法和结果同，为求的电抗标幺值：方法和结果同, 为。求的电抗标幺值：方法和结果同, 为。求的电抗标幺值：电压没有改变，但是原来容量是1500MVA，现在的容量基准值是100 MVA,根据式（45），可得求M的电抗标幺值：电压没有改变，但是原来容量是1500 MVA，现在的容量基准值是100 MVA,根据式（45），可得求线路Line1的电抗标幺值：首先应该根据式（44）求出第2区段的阻抗标幺值因此其电抗标幺值是求线路Line2的电抗标幺值：第2区段的阻抗标幺值为因此其电抗标幺值是求线路Line3的电抗标幺值：第2区段的阻抗标幺值为因此其电抗标幺值是下图就是这个电力系统的标幺值等效电路。画出了标幺值等效电路后，就1以根据需要进行进一 步的计算了。图13 例3所示电力系统标幺值等效电路图参考文献1. J. DUNCAN GLOVER ,MULUKUTLA S. SARMA and THOMAS J.OVERBYE Power System Analysis and Design (Fifth Edition)2. 夏道止主编 电力系统分析（第三版）北京 中国电力出版社 2011.23. 刘万顺，黄少锋，徐玉琴编 电力系统故障分析 （第三版）北京 中国电力出版社 2010.24. 李谦（老头儿）在网易博客和百度文库发表的几篇有关电力系统分析和设计课的学习笔记17