自然数的正整数次幂的个位数规2.doc

自然数的正整数次幂的个位数的规律

【摘要】自然数的正整数次幂的个位数的计算错综复杂，但是在这看似变化无常中却自隐藏着令人回味无穷的规律．例如求102389的个位数，常规方法：先求出结果，再确定个位数．这种方法在没有现代高级计算机的情况下，似乎是“山重水复疑无路”，但如果掌握了然数的正整数次幂的个位数规律，即可“柳暗花明又一村”．
【关键词】自然数 正整数次 幂 个位数 计算 规律
一、0-9的正整数次幂的个位数规律
经研究发现（可用数学归纳法证明），an(0≤a＜10，a∈N,n∈N*）的个位数，具有以下规律：
（1）0，1，5，6的正整数次幂的个位数是它本身．
例如：542的个位数是5，6n（n∈N*）的个位数是6.
（2）4，9的奇数次幂的个位数是它本身，偶数次幂的个位数分别是6，1.
例如：459的个位数是4，460的个位数是6；969的个位是9，970的个位数是1．
（3）2，3，7，8的正整数次幂的个位数是循环重复出现的．
例如：24n-3，24n-2，24n-1，24n（n∈N*）的个位数分别是2，4，8，6；
34n-3，34n-2，34n-1，34n（n∈N*）的个位数分别是3，9，7，1；
74n-3，74n-2，74n-1，74n（n∈N*）的个位数分别是7，9，3，1；
84n-3，84n-2，84n-1，84n（n∈N*）的个位数分别是8，4，2，6；
因此，对某个数a而言，特定倍数幂的结果总是相同的尾数：如3的4n（n∈N*）次幂总是以1结尾，也很容易计算出4n+1次方的尾数为1*3， 4n+2次方的尾数 1*3*3＝9， 4n+3 次方的尾数为 1*3*3*3=27，即为7，这样就可以计算出3的任意次方的结果的尾数．
把上述规律整理，总结成一个数组如下：
0， 0， 0， 0；
1， 1， 1， 1；
2， 4， 8， 6；
3， 9， 7， 1；
4， 6， 4， 6；
5， 5， 5， 5；
6， 6， 6， 6；
7， 9， 3， 1；
8， 4， 2， 6；
9， 1， 9， 1.
数组的第一维(行)的四个数字，依次为指数n变化时幂的个位数；
数据的第二维(列)对应底数a，a从0到9.

通过数组，发现：
1． an(0≤a＜10，a∈N,n∈N*）的个位数，与a有关：a不同，则幂的个位数可能相同，也可能不同；当a为奇数时，则幂的个位数为奇数，当a为偶数时，则幂的个位数为偶数；反过来，当幂的个位数为0时，a只能为0，而幂的个位数为5时，a只能为5.

2．数组的第一列正好对应a从0到9的竖直变化；第二列、第四列去掉首行0以后,呈上下对称；第四列如果a与10互素，则幂的个位数为1；第一列、第二列、第三列的数字之和均为45.
3．相同的a，如果它的指数是4n（n∈N*），无论n是多少，其个位数数都是相同的，这个问题可以转化为：
假设m， n均为自然数，MOD为取余数计算符（ MOD 10即取个位数）．
(m^4n) MOD 10 = (m^(4*(n+1)) MOD 10. ----- (1)
(m^(4n+1)) MOD 10 = m MOD 10. ----- (2)

二、10以上的自然数的正整数次幂的个位数规律
对于求an(a≥10，a∈N,n∈N*）的个位数，可以由二项式定理可以推出．令r=a MOD 10，r为a的个位数，则a-r的个位数为0．
∵an=[(a-r)+r]n
=(a-r)n+(a-r)n-1r1+…+C(a-r)1rn-1+Ｃrn
=(a-r)[(a-r)n-1+(a-r)n-2r1+…+Crn-1]+Ｃrn
而(a-r)[(a-r)n-1+(a-r)n-2r1+…+Crn-1]的个位数为0
∴ 求an(a≥10，a∈N,n∈N*）的个位数，只需求Ｃrn=rn的个位数；

因此，我们知道：10以上的自然数（也称多位数）的正整数次幂的个位数只与多位数的个位有关，而与多位数的十位、百位、千位……无关．故只要掌握0-9的正整数次幂的个位数的求法，对于求多位数的正整数次幂的个位数,便可迎刃而解．
现在来求103289的个位数．依上面的结论：求103289的个位数，只需求289的个位数，因为289=24×22+1的个位数为2，所以103289的个位数为2．
三、运算规律
若自然数a， b， c， d满足:
a MOD 10 = c MOD 10 ，b MOD 10 = d MOD 10.
1．加法(+)
（a MOD 10 + b MOD 10）MOD　10 =(a+b) MOD 10.
(a+b) MOD 10 = (c+d) MOD 10.
2．减法(-)
(a-b) MOD 10 = a MOD 10 – b MOD10. ( a MOD 10 ≥ b MOD 10 )
(a-b) MOD 10 = 10+a MOD 10 – b MOD 10. ( a MOD 10 ＜ b MOD 10 )
(a-c) MOD 10 = 0 = (b-d) MOD 10.
3．乘法（*）
（a MOD 10 * b MOD 10）MOD 10 =(a*b) MOD 10.

(a*b) MOD 10=(c*d) MOD 10.
4. 乘方（^）
(a^n) MOD 10 = (b^n) MOD 10.
10以上的自然数的正整数次幂的个位数规律可用下式表述：
(a^n) MOD 10 = ((a MOD 10)^n) MOD 10.
对于上面各式的证明，只需 令a=10*A+m， c=10*C+m， b=10*B+n，d=10*D+n， 代入上面加、减、乘法式即得，对于乘方式子重复运用乘法部分即得 ．
5．除法(\)
由于除法极易得到小数，所以不考虑其运算规律．
6．特别地
若a与10互素（a只能取1或3或7或9），则存在整数k，使得
(a*k) MOD 10 = 1.
证明: 因为a与10互素，由Eulid辗转相除法知，存在整数k，n使得
a*k = 1+ 10*n.
因此 (a*k) MOD 10 = (1+10*n) MOD 10 = 1 MOD 10 + (10*n) MOD 10 = 1.

四、综合应用
掌握了自然数的正整数次幂的个位数规律，结合数字的四则运算和二项式定理，可以求解近年来常出现的个位数字计算技巧的题型，而且计算速度往往比计算机还要快．

【例1】：求下列算式的个位数．
（1） 7185+43856和 7185×43856
解：∵7185=74×46+1，其个位数是7；
又∵43856的个位数与的856个位数相同，856=84×14其个位数为6；
∴ 7185+43856的个位数为7+6的个位数；
7185×43856是个位数为7×6的个位数；
∴ 7185+43856的个位数字为3；
7185×43856 的个位数字为2．
（2）（264-340）345
解：∵264的个位数为6，340的个位数为1
∴264-342的个位数为5
∵5的正整数次幂的个位数为5
∴（264-342）345的个位数为5.
（3）（42+4…+440）×7 64
解：∵42+43……+440=（1+4）40- (+4)
=540-(1+40×4)
又∵5的正整数次幂的个位数为5
∴（42+43……+440）的个位数为4.
又∵7 64的个位数为1
∴（42+43……+440）×7 64的个位数为4.
【例2】：某个自然数的偶数次幂是千位数字为3．个位数字为5的四位数，求这个自然数.
解：设存在此自然数为N，则N^2k=3··5，则(N^k)^2=3··5，说明此四位数A为某自然数B的平方，且这个自然数B为两位数，因为只有个位数为5的自然数的指数幂的个位数为5，所以N的个位数为5，又由于四位数A的千位为3，则自然数B的十位数只能为5，所以B=55，即N^k=55，所以题目要求的自然数N只能为55．
【例3】：（１９９１年全国初中数学联赛题）填空：
１,２,３……，１２３４５６７８９的平方和的个位数的数字是（　　　　　）　
解：∵１2+22+32+……+92+102的个位数的和等于1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45， 而11到20,21到30,31到40，……，123456781到123456789的平方的个位数的和也都为45.
∴本题所求的个位数字是45*（12345678+1）的个位数字5.

【参考文献】
[ 1 ] 全日制普通高级中学教科书．《数学》第五册．人民教育出版社，２０００．

[ 2 ]《一个自然数幂尾数规律的数学归纳法证明》．科教文汇，２００６，７上半月刊．

[ 3 ] 普通高中课程标准实验教科书．《数学》1（必修）．人民教育出版社Ａ版，２０１０．

[ 4 ] 普通高中课程标准实验教科书．《数学》３（必修）．人民教育出版社Ａ版，２０１０．
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