概率习题答案4.doc

第四章 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
习题1
设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).
解答：
依题意，X的分布律为
X
  0
1
P
1-p
p
由E(X)=∑i=1∞xipi, 有
E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.
习题2
袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n. 现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.
分析：
.
解答：
设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi, 且
P{Xi=m}=1n,
其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k, 故
E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,
从而
E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.
习题3
某产品的次品率为0.1, 检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).
解答：
X的可能取值为0,1,2,3,4, 且知X∼b(4,p), 其中
              p=P{调整设备}
              =1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,
所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.
习题4
据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知), 在5年之内非自杀死亡的概率为1-p, 保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知), 若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a), 应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？
解答：
令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为
X
aa-b
pk
p1-p
∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0, 即a<b<a1-p.
对于m个人，有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p).
习题5
对任意随机变量X, 若E(X)存在，则E{E[E(X)]}等于¯.
解答：
由数学期望的性质1及E(X)为一常数知
E{E[E(X)]}=E[E(X)]=E(X).
习题6
设随机变量X的分布律为
X
-202
pi 
 0.40.30.3
求E(X),E(X2),E(3X2+5).
解答：
E(X)=-2×0.4+2×0.3=-0.2,
E(X2)=(-2)2×0.4+22×0.3=2.8,
E(3X2+5)=[3×(-2)2+5]×0.4+(3×02+5)×0.3+(3×22+5)×0.3=13.4.
习题7
设连续型随机变量X的概率密度为
f(x)={kxa,0<x<10,其它,
其中k,a>0, 又已知E(X)=0.75, 求k,a的值.
解答：
\because∫-∞+∞f(x)dx=1,∫-∞+∞xf(x)dx=0.75,
∴∫01kxadx=1,∫01x⋅kxadx=0.75, 即
ka+1xa+1∣01=1,ka+2xa+2∣01=0.75,
即{ka+1=1ka+2=0.75,
∴k=3,a=2.
习题8
设随机变量X的概率密度为
f(x)={1-∣1-x∣,0<x<20,其它,
求E(X).
解答：
f(x)={x,0<x<12-x,1≤x<20,其它,
E(X)=∫01x⋅xdx+∫12x(2-x)dx=∫01x2dx+∫12(2x-x2)dx=13+23=1.
习题9
一年之内一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为
f(x)={14e-x4,x>00,x≤0,
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换. 若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
解答：
先求出利润函数L(X).
L(X)={100,X≥1-300+100=-200,X<1,
E(L)=100×P{X≥1}-200×P{X<1}
    =100×∫1+∞14e-x4dx-200×∫0114e-x4dx
    =100×e-14+200×e-14-200≈33.64(元).
习题10
设随机变量X的概率密度为f(x)={e-x,x>00,x≤0,
求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望.
解答：
(1)E(Y)=E(2X)=∫-∞+∞2xf(x)dx=∫0+∞2xe-xdx=2.
(2)E(e2X)=∫-∞+∞e-2xf(x)dx=∫0+∞e-3xdx=13.
习题11
设(X,Y)的分布律为
Y\X
123
 -101
0.20.10.00.10.00.30.10.10.1
(1)求E(X),E(Y); (2)设Z=Y/X, 求E(Z); (3)设Z=(X-Y)2, 求E(Z).
解答：
(1)先求X与Y的边缘分布律，然后求E(X),E(Y).
X
1
2
3
pk
0.4
0.2
0.4

Y
-1
0
1
pk
0.3
0.4
0.3
所以E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.0,
    E(Y)=-1×0.3+0×0.4+1×0.3=0.
(2)可以利用X,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求E(Z), 也可以利用定理直接求E(Z), 下面采取直接求法.
E(Z)=E(YX)=∑i∑jyjxipij
    =(-1×0.2+1×0.1)+(-12×0.1+12×0.1)+(-13×0+13×0.1)
    =-115.
(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij
       =(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1
        +32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1
       =5.
也可以利用期望的性质求E(Z), 得
E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)
           =E(X2)-2E(XY)+E(Y2)
           =(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2
                 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]
                 +(-1)2×0.3+12×0.3
           =5.
习题12
设(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,
求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).
解答：
如右图所示.
E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx⋅12y2dy=45,
E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy⋅12y2dy=35,
E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy⋅12y2dy=12,
E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy
          =∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615.
习题13
设X和Y相互独立，概率密度分别为
ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,
求E(XY).
解答：
解法一   由独立性.
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.
解法二  令z=y-5, 则
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.
 4.2 方差
习题1
设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X).
解答：
由题设知，X的分布律为
P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)
由P{X=1}=P{X=2}, 得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即
λ=0(舍去), λ=2.
所以E(X)=2,D(X)=2.
习题2
下列命题中错误的是().
(A)若X∼p(λ), 则E(X)=D(X)=λ;
(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ;
(C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);
(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.
解答：
应选(B).
E(X)=1λ,D(X)=1λ2.
习题3
设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0), 则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.
解答：
由多维随机变量函数的分布知：
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且
E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.
习题4
若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n), 且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是             .
解答：
应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).
由多维随机变量函数的分布知：
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且
E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.
习题5
设随机变量X服从泊松分布，且
3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},
求X的期望与方差.
解答：
X的分布律为
P{X=k}=λkk!e-λ, k=0,1,2,⋯,
于是由已知条件得
3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,
即λ2+3λ-4=0, 解之得λ=-4(舍), λ=1, 故
E(X)=λ=1, D(X)=λ=1.
习题6
设甲，乙两家灯泡厂生产的寿命(单位：小时)X和Y的分布律分别为
X
900
1000
1100
pi
0.1
0.8
0.1

Y
950
1000
1050
pi
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
解答：
哪家工厂的灯泡寿命期望值大，哪家的灯泡质量就好.由期望的定义有
E(X)=900×0.1+1000×0.8+1100×0.1=1000,
E(Y)=950×0.3+1000×0.4+1050×0.3=1000.
今两厂灯泡的期望值相等：
E(X)=E(Y)=1000,
即甲，乙两厂的生产水平相当. 这就需要进一步考察哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即看哪家工厂的灯泡寿命取值更集中一些，这就需要比较其方差.方差小的，寿命值较稳定，灯泡质量较好，则方差的定义式得
D(X)=(900-1000)2×0.1+(1000-1000)2×0.8+(1100-1000)2×0.1=2200,
D(Y)=(950-1000)2×0.3+(1000-1000)2×0.4+(1050-1000)2×0.3=1500.
因D(X)>D(Y), 故乙厂生产的灯泡质量较甲厂稳定.
习题7
已知X∼b(n,p), 且E(X)=3,D(X)=2, 试求X的全部可能取值，并计算P{X≤8}.
解答：
\becauseE(X)=np,D(X)=np(1-p),
∴{np=3np(1-p)=2,   即{n=9p=13,
∴X的取值为：0,1,2,⋯,9,
P{X≤8}=1-P{X=9}=1-(13)9.
习题8
设X∼N(1,2), Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY).
解答：
\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),
又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy
              =E(X2)E(Y2),
∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)
          =[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)
          =D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)
           =2×3+2×32+3×12=27.
习题9
设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有
E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,
又设Y=2X1-X2+3X3-12X4, 求E(Y),D(Y).
解答：
E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)
    =2×1-2+3×3-12×4=7,
D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.
习题10
5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2, X3, X4,X5. 已知
        X1∼N(200,225), X2∼N(240,240), X3∼N(180,225), 
        X4∼N(260,265), X5∼N(320,270), 
X1,X2,X3,X4,X5相互独立.
(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；
(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？
解答：
(1)设总销售量为X,由题设条件知
X=X1+X2+X3+X4+X5,
于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200,
    D(X)=∑i=15D(Xi)=225+240+225+265+270=1225.
(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,
求y. 由(1)易知，X∼N(1200,1225),
P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.
查标准正态分布表得y-12001225=2.33,
y=2.33×1225+1200≈1282(kg).
习题11
设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求
Z=min{X1,X2,⋯,Xn}
的数学期望和方差.
解答：
Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为
F(x)={1-e-x,x>00,其它,
Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为
FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,
于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n, 而
E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,
于是
D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.
4.3 协方差与相关系数
习题1
设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().
(A)X,Y不相关；        (B)E(XY)=E(X)E(Y);     
(C)cov(X,Y)=0;         (D)E(X)=E(Y)=0.
解答：
应选（D）。
当(X,Y)服从二维正态分布时，
不相关性⇔独立性
若(X,Y)服从一般的分布，则
X,Y相互独立⇒X,Y不相关
反之未必.
习题2
设X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2, 试求E(Y),D(Y),cov(X,Y)及ρXY.
解答：
E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=3×2-2=4
D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=9×2=18,
cov(X,Y)=cov(X,3X-2)=3D(X)=6,
ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=62⋅18=1.
习题3
设随机变量X的方差D(X)=16, 随机变量Y的方差D(Y)=25, 又X与Y的相关系数ρXY=0.5, 求D(X+Y)与D(X-Y).
解答：
    D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2D(X)D(Y)ρXY
             =16+25+2×4×5×0.5=61,
    D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2D(X)D(Y)ρXY
            =16+25-2×4×5×0.5=21.
习题4
设(X,Y)服从单位圆域G:x2+y2≤1上的均匀分布，证明X,Y不相关.
解答：
        E(XY)=∫∫x2+y2≤11πxydxdy
              =1π∫-11dxdy∫-1-x21-x2ydy=0,
又
E(X)=∫∫x2+y2≤11πxdxdy=1π∫-11xdx∫-1-x21-x2dy=1π∫-112x1-x2dx=0,
同理，E(Y)=0, 故
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,
即X,Y不相关.
习题5
设100件产品中的一，二，三等品率分别为0.8,0.1和0.1. 现从中随机地取1件，并记
Xi={1,取得i等品0,其它(i=1,2,3),
求ρX1X2.
解答：
首先求(X1,X2)的联合分布
P{X1=0,X2=0}=P{X3=1}=0.1, P{X1=0,X2=1}=P{X2=1}=0.1,
P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}=0.8, P{X1=1,X2=1}=P(∅)=0.
关于X1和X2的边缘分布律为
P{X1=1}=0.8,  P{X1=0}=0.2,
P{X2=1}=0.1,  P{X2=0}=0.9.
于是E(X1)=0.8, D(X1)=0.16; E(X2)=0.1, D(X2)=0.09.
从而
     ρX1X2=cov(X1,X2)D(X1)D(X2)=E(X1X2)-E(X1)E(X2)D(X1)D(X2)
          =1×0+0×0.8+0×0.1+0×0.1-0.080.4×0.3=-23.
习题6
设X∼N(μ,σ2),Y∼N(μ,σ2), 且X,Y相互独立，试求Z1=αX+βY和Z2=αX-βY的相关系数(其中α,β是不为零的常数).
解答：
cov(Z1,Z2)=cov(αX+βY,αX-βY)=α2cov(X,X)-β2cov(Y,Y)
          =α2D(X)-β2D(Y)=(α2-β2)σ2,
D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)+2αβcov(X,Y),
D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)-2αβcov(X,Y).
因为X,Y相互独立，所以cov(X,Y)=0, 故
D(Z1)=(α2+β2)σ2,D(Z2)=(α2+β2)σ2,
相关系数ρ=cov(Z1,Z2)D(Z1)D(Z2)=α2-β2α2+β2.
习题7
设随机变量(X,Y)具有概率密度
f(x,y)={18(x+y),0≤x≤2,0≤y≤20,其它,
求E(X),E(Y),cov(X,Y),ρXY,D(X+Y).
解答：
E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dydx=∫02∫02x⋅18(x+y)dydx=76.
由对称性知，E(Y)=76,
E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫02∫02xy⋅18(x+y)dxdy
      =∫0218(83y+2y2)dy=43,
于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=43-76×76=-136，
E(X2)=∫02∫02x2⋅18(x+y)dydx=14∫02(x3+x2)dx=53.
由对称性知，E(Y2)=53, 故
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=53-(76)2=1136,D(Y)=1136,
ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=-1361136=-111,
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=1136+1136-2×136=59.
习题8
设随机变(X,Y)的分布律为
Y\X
-101
 -101
 1/81/81/81/801/81/81/81/8
验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立.
解答：
先求X,Y的边缘分布律
X
-101

Y
-101
pk
3/82/83/8

pk
3/82/83/8
因为p00≠p0⋅p⋅0, 所以X与Y不是独立的，又
E(X)=-1×38+1×38=0,E(Y)=-1×38+1×38=0,
E(XY)=(-1)×(-1)×18+(-1)×1×18+1×(-1)×18+1×1×18=0,
于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 即ρXY=0. 因此，X与Y是不相关的.
习题9
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={1/π,x2+y2≤10,其它,
试验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立.
解答：
首先求fX(x)和fY(y).
fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫-1-x21-x21πdy=2π1-x2,-1≤x≤10,其它,
fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫-1-y21-y21πdx=2π1-y2,-1≤y≤10,其它,
E(X)=∫-∞+∞fX(x)dx=∫-11x⋅2π1-x2dx=0,
同理可得E(Y)=0,
E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫∫x2+y2≤11πxydxdy=0.
因此cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 即
ρXY=0,
故X与Y是不相互独立的.
又因为f(x,y)≠fX(x)fY(y), 故X与Y不是相互独立的.
习题10
设(X,Y)服从二维正态分布，且X∼N(0,3),Y∼N(0,4), 相关系数ρXY=-1/4, 试写出X与Y的联合概率密度.
解答：
依题意知，二维正态分布5个参数分别为
μ1=0,μ2=0,σ12=3,σ22=4,ρXY=-14,
故X,Y的联合概率密度为
f(x,y)=12π⋅325e-115/8[x23-2(-14)x3⋅y2+y24]=135πe-815(x23+xy43+y24).
习题11
设(X,Y)服从二维正态分布，且有D(X)=σX2,D(Y)=σY2. 证明：当a2=σX2σY2时随机变量W=X-aY与V=X+aY相互独立.
解答：
根据多维正态分布的性质可知，由于(X,Y)服从二维正态分布，故W与V的联合分布也是二维正态分布. 又知，二维正态分布二分量间相互独立与不相关是等价的，因此，欲证明W与V相互独立，也就是要证cov(W,V)=0, 为此求cov(W,V).
cov(W,V)=cov(X-aY,X+aY)=D(X)-a2D(Y)=σX2-a2σY2.
令cov(W,V)=0, 即σX2-a2σY2=0, 则得a2=σX2σY2, 故证得当a2=σX2σY2时，随机变量W与V相互独立，其中
W=X+aY,V=X+aY.
习题12
设随机变量X的概率密度为
f(x)={0.5x,0<x<20,其它,
求随机变量X的1至4阶原点矩和中心矩.
解答：
由公式vk=E(Xk)=∫-∞+∞xkf(x)dx=∫02xk(0.5x)dx,
求原点矩v1=∫02x(0.5)dx=12∫02x2dx=12×13x3∣02=43,
        v2=∫02x2(0.5x)dx=12∫02x3dx=12×14x4∣02=2,
        v3=∫02x3(0.5x)dx=12×15x5∣02=3.2,
        v4=∫02x4(0.5x)dx=12×16x6∣02=163;
求中心矩：任何变量的一阶中心距均为0, 即μ1=0, 由中心矩与原矩的关系有
μ2=v2-v12=2-(43)2=29,
μ3=v3-3v2v1+2v13=3.2-3×2×43+2×(43)3=-8135,
μ4=v4-4v3v1+612v2-3v14=16135.
习题13
设随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为
f(x)=12λe-∣x∣λ,-∞<x<+∞,
其中λ>0为常数，求X的k阶中心矩.
解答：
由于E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx=12λ∫-∞+∞xe-∣x∣λdx=0, 所以
μk=E([X-E(X)]k)=E(Xk)=12λ∫-∞+∞xke-∣x∣λdx.
因此，当k为奇数时，可得μk=0.
当k为偶数时，有
μk=12λ∫0+∞xke-xλdx+12λ∫-∞0xkexλdx=1λ∫0+∞xke-xλdx
=λk∫0+∞tke-tdt=λkΓ(k+1)=λk⋅k!,
故 μk={0,k为奇数时λkk!,k为偶数时.
 4.4 大数定理与中心极限定理
习题1
一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X, 估计P{10<X<18}.
解答：
记Xi(i=1,2,3,4)为第i次掷骰子出现的点数，则Xi的分布为
Xi
 1
 2
 3
 4
 5
 6
pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
E(Xi)=16(1+2+3+4+5+6)=72,
E(Xi2)=16(1+4+9+16+25+36)=916,
D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=916-494=3512,
一颗骰子连续掷4次，点数总和
X=∑i=14Xi,
E(X)=∑i=14E(Xi)=4×72=14,
D(X)=∑i=14D(Xi)=4×3512=353,
于是
      P{10<X<18}=P{10-14<X-14<18-14}
                    ={∣X-14∣<4}≥1-116×353≈0.271.
习题2
设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系数为-0.5, 根据切比雪夫不等式估计P{∣X+Y∣≥6}.
解答：
E(X)=-2, E(Y)=2,
D(X)=1, D(Y)=4, ρX,Y=-0.5,
∴  E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2ρX,YD(X)D(Y)=1+4+2×(-0,5)×1×2=3,
∴  P{∣X+Y∣≥6}≤362=112.
习题3
设X1,X2,⋯,Xn为随机变量序列，a为常数，则{Xn}依概率收敛于a是指           .
解答：
应填：∀ɛ>0,limn→∞P(∣Xn-a∣≥ɛ)=0.
由依概率收敛定义即可得到结果.
习题4
设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个样本，则当n→∞, Yn=1n∑i=1nXi2依概率收敛于            .
解答：
应填：1/2.
由题设，可知Xi∼e(2), 因此
E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi2)=1λ2+1λ2=2λ2=12.
根据切比雪夫大数定律的推广：若X1,X2,⋯具有相同的数学期望E(Xi)=μ, 则对于任意的正数ɛ, 有
limx→∞P(∣1n∑i=1nXi-μ∣<ɛ)=1.
因此，本题有limx→∞P(∣1n∑i=1nXi2-12∣<ɛ)=1. 即当n→∞时，依概率收敛于12.
习题5
从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品，我们能否相信该产品的废品率不超过0.005?
解答：
若该工厂的废品率不大于0.005, 则检查200件产品中发现4件废品的概率应该不大于
p=C2004×0.0054×0.995196,
用泊松定理作近似计算
λ=200×0.005=1,
即p≈14e-14!≈0.0153.
这一概率很小，根据实际推断原理，这一小概率事件实际上不太会发生，故不能相信该工厂的废品率不超过0.005.
习题6
有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？
解答：
把抽一根木柱测其长度是否短于3m看做一次试验. 设事件A为“抽到的木柱长度短于3m”，则由已知条件知
P(A)=20100=0.2=p.
由于木柱数量很大，可把100次抽取看做是100重伯努利试验.记抽出的100根木柱中短于3m的木柱数为X, 则X∼b(100,0.2). 由题意和棣莫佛—拉普拉斯定理，有
        P{X≥30}=1-P{X<30}
                  =1-P{X-100×0.2100×0.2×0.98<30-100×0.2100×0.2×0.98
                  ≈1-Φ(2.5)=0.0062.
习题7
一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学期望为2mm, 均方差为0.05mm, 规定总长度为(20±0.1)mm时产品合格，试求产品合格的概率.
解答：
设各部分长度为Xi(i=1,2,⋯,10), 总长度
Z=∑i=110Xi.
已知E(Xi)=2,D(Xi)=(0.05)2, 则依题意可知，并用林德伯格—勒维极限定理得产品合格的概率为
    P{20-0.1≤Z≤20+0.1}
 =P{-0.10.0510≤Z-2×100.0510≤0.10.0510≈Φ(0.63)-Φ(-0.63)
 =2Φ(0.63)-1=2×0.7357-1=0.4714.
习题8
据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.
解答：
设Xi表示第i只电器元件的寿命，i=1,2,⋯,16. Xi(i=1,2,⋯,16)间独立同指数分布，E(Xi)=100小时，D(Xi)=100小时，n=16, 所求概率为
    P{∑i=116Xi>1920=P{∑i=116Xi-16×100400>1920-1600400
                    ≈1-Φ(320400)=1-Φ(0.8)=1-0.7881=0.2119.
习题9
检验员逐个地检查某种产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要重复检查一次再用去10秒钟，假定每个产品需要重复检查的概率为12,求在8小时内检验员检查的产品多于1900个的概率是多少？
分析：

解答：
换言之，即求检查1900个产品所花的时间不超过8小时的概率. 设Xi为检查第i个产品所需的时间，则X1,X2,⋯,X1900为独立同分布的随机变量，S=∑i=11900Xi为检查1900个产品所需的总时间. 由题设，有
Xi={10,第i个产品没有重复检验20,第i个产品重复检验,
且P{Xi=10}=P{Xi=20}=12,i=1,2,⋯, 于是
μ=E(Xi)=10×12+20×12=15,
E(Xi2)=102×12+202×12=250(i=1,2,⋯),
σ2=D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=25.
由独立同分布中心极限定理，有
S∼近似N(1900×15,1900×25)=N(28500,47500),
故所求之概率为
     P{S≤8×3600}=近似P{S≤28800}≈Φ(28800-2850047500)
                   =Φ(3005019)=Φ(619)=0.9162.
习题10
某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7, 假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位，问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致于因供电不足而影响生产.
解答：
记200部机床中开动的机床部数为X, 则
X∼b(200,0.7),
由中心极限定理，
P{X≤k}≈Φ(k-200×0.7200×0.7×0.3)≥0.95,
查表得k-14042=1.65, 解得k≈151, 所需电量151×15=2265个单位.
习题11
某电视机厂每月生产一万台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8,为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月生产多少只显像管？
解答：
设每月生产n只显像管，这n只显像管中正品的只数为X, 则X∼b(n,0.8). 本题即求满足P{X≥10000}≥0.997的最小的n. 由棣莫佛—拉普拉斯定理，有
X∼近似N(0.8n,0.8×0.2n)=N(0.8n,0.16n),
于是
    P{X≥10000}=1-P{0≤X<10000}
                 ≈[Φ(10000-0.8n0.16n)-Φ(0-0.8n0.16n)]
                 ≈1-Φ(10000-0.8n0.4n)≥0.997,
即Φ(0.8n-100000.4n)≥0.997.
查表可得0.8n-100000.4n≥2.75, 解之得n≥12654.68, 所以取n=12655即可满足要求.
习题12
(1)一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成. 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作用，必须至少有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.
(2)一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为0.90, 且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?
解答：
(1)设Xi={1,第i个部件在整个运行期间正常工作0,第i个部件在运行期间损坏, (i=1,2,⋯,100).
由已知条件，X1,⋯,X100相互独立且同分布，
P{Xi=1}=0.9=p,P{Xi=0}=0.1=q.
记X=∑i=1100Xi, 它表示在整个运行期间工作着的部件数，可知，X∼b(10,0.9). 依题意，所求概率为
    P{X>85}=1-P{X≤85}
             =1-P{X-100×0.9100×0.9×0.1≤85-100×0.9100×0.9×0.1
             ≈1-Φ(-53)=Φ(53)=0.9525,
即整个系统起作用的概率为0.9525.
(2)与(1)中的假设相同，只是这里X∼b(n,0.9). 依题，要P{X≥0.8n}=0.95, 即
P{X-0.9nn×0.9×0.1≥0.8n-0.9nn×0.9×0.1=0.95,
亦即P{X-0.9nn×0.9×0.1≥-n3=0.95, 近似地有Φ(n3)=0.95.
查表得n3=1.645, 解得n=24.35, 于是，要求n=25, 即至少有25个部件才能使系统可靠性不低于0.95.
习题13
抽样检查产品质量时，如果发现有多于10个的次品，则拒绝接受这批产品.设某批产品的次品率为10%, 问至少应抽取多少个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?
解答：
令X=“发现的次品数”，则X∼b(n,0.1),
∴P{X>10}=0.9, 即
1-P{X≤10}=1-Φ(10-0.1nn×0.1×0.9)=0.9,
即Φ(10-0.1nn×0.1×0.9)=0.1,
∴