小学奥数_裂项求和(一).docx

分数裂项求和
裂项求和就是是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.

裂项求和法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）。

裂项求和法的具体方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

例1 裂项
12×3 = 12 - 13 = 16 13×4 = 13 - 14 = 112

14×5 = 14 - 15 = 120 15×6 = 15 - 16 = 130

16×7 = 16 - 17 = 142 你发现了什么？

对于分母可以写作两个连续自然数的乘积，分子都是1的这种形式的分数，即 1a×b ，这里我们把较小的数a写在前面，即a < b，那么有 1a×b = 1b - 1a 。

练1 19×10 = -
199×100 = -

练2 2 2 ×3 = 2 - 2 = 2 （提示：分子不是1的，注意）

3 4 ×5 = 3 - 3 = 3

练3 2 11 ×12 = - = （提示：分子空缺，自己填写）

399 ×100 = - =

例2 深度讲解
11×2 + 12×3+ 13×4 + …… + 198×99+199×100
= (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14)+ …… +(198 - 199) + (199 - 1100) [此处为基础训练中的裂项]
= 11 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14+……+198 - 199 + 199 - 1100 [去括号，括号外面是加号，去括号不变号]
= 1 - 1100 [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾]
= 99100 [头减尾，既得最后答案]
练4 11×2 + 12×3+ 13×4 + …… + 18×9+19×10

练5 21×2 + 22×3+ 23×4 + …… + 218×19+219×20

练6 110×11 + 111×12+ 112×13 + …… + 199×100

练7 33×4 + 34×5+ 35×6 + …… + 335×36