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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A级 课时对点练
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)
1．已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题綈p是 ( )
A．∀x∈R，x2≤0 B．∀x∈R，x2＜0
C．∃x∈R，x2≤0 D．∃x∈R，x2＜0
答案：D
2．下列命题中，为真命题的是 ( )
A．∃x∈R，x2＋1＜0 B．∃x∈Z,3x＋1是整数
C．∀x∈R，|x|＞3 D．∀x∈Q，x2∈Z
解析：一般地，要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成
立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只须举出一个反例即
可．要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使q(x0)成
立即可，否则这一命题就为假．据此易知命题B是正确的．
答案：B
3．(2010·天津卷)下列命题中，真命题是 ( )
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：∵m＝0时，f(x)＝x2⇒f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故存在m＝0，使f(x)＝x2＋mx(x
∈R)为偶函数．
答案：A
4．设集合A＝{x|－2＜－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A，若p∨q为真命
题，p∧q为假命题，则a的取值范围是 ( )
A．0＜a＜1或a＞2 B．0＜a＜1或a≥2
C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
答案：A
5．(2010·深圳模拟)已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上
单调递增，则下列命题为真命题的是 ( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨q
解析：p真，q假，∴p∨q为真，故选A.
答案：A
二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
6．(2010·烟台模拟)已知命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p是________．
答案：∃x∈R，x2＋1≤0
7．已知命题p：∃x∈R，x3－x2＋1≤0，则命题綈p是________．
答案：∀x∈R，x3－x2＋1＞0
8．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p
或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序
号是________(填上你认为正确的所有序号)．
解析：p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，
p假q真，故①④⑤⑥正确．
答案：①④⑤⑥
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
9．写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其
真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值
相等．
解：(1)p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题．
(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p或q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实数根符号不同，真命题．
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些质数是奇数；
(3)s：∃x∈R，|x|＞0.
解：(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．
B级 素能提升练
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
1．下列命题错误的是 ( )
A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m
＝0无实数根，则m≤0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析：依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命
题中，只要一个为假整个命题为假．
答案：C
2．已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假
命题，则实数m的取值范围为 ( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
解析：易知命题p：∃m∈R，m＋1≤0为真命题，∵p∧q为假命题，∴命题q：∀x∈R，
x2＋mx＋1＞0恒成立必为假命题．∴m2－4×1≥0⇒m≤－2或m≥2，由题意可知，当m≤
－2时符合题意．
答案：B
二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
3．命题“∃x∈R，x≤1或x2＞4”的否定是________________．
解析：已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题．
答案：∀x∈R，x＞1且x2≤4
4．已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______．
解析：由“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋
a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为.
答案：
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
5．已知两个命题r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且
仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．
解：∵sin x＋cos x＝sin≥－，∴当r(x)是真命题时，m＜－.又∵对∀x∈R，
s(x)为真命题，
即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2.
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2＜m＜2，即－≤m＜2.
综上，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m＜2.
6．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈是，函数f(x)＝x＋＞
恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．
解：由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋≤
要使此式恒成立，则2＞，即c＞.
又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，
当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤.
当p为假，q为真时，c≥1.
综上，c的取值范围为{c|0＜c≤或c≥1}．
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