文科导数讲义.doc

体系构建——导数
导数专题
一、导数的基本概念
1.平均变化率和瞬时变化率
（1）平均变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=
（2）瞬时变化率：当时，此时的就叫做瞬时变化率
2.导数的定义
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f′(x)或y′|。
即f′（x）==。
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：
① 求函数的增量=f（x+）－f（x）
② 求平均变化率=
③ 取极限，得导数f’(x)=

例1． 在处可导，则 2 -1

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
（1）； （2）

例3．设f(x)= x|x|, 则f′( 0)=

习题精炼：
1. 在内的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0

2. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）
A． B．
C． D．

3. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）
A． B．
C． D．

4. 在附近的平均变化率是____

5. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）
Ａ．从时间到时，物体的平均速度；
Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为时物体的速度；
Ｄ．从时间到时物体的平均速度

6. 在 =1处的导数为（ ）
A．2 B．2 C． D．1

7. 函数的图像是折线段ABC,其中A.B.C的坐标分别为,则 ，＝ .

8. 在高台跳水运动中,t秒时运动员相对于水面的高度为,则运动员在1秒时的瞬时速度为 ,此时运动状态是

3.导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f′（x）。
相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
例1：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0

例2：求函数过点（1,1）的切线

例3：已知直线与相切，求K的值

例4：求在点和处的切线方程。

4.导数的运算
1． 基本函数的导数公式:
①（C为常数） ②
③; ④;
⑤ ⑥;
⑦; ⑧

例1：下列求导运算正确的是 ( B )
A．(x+ B．(log2x)′=
C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx

例2：设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝ ( C )
A．　 B． C． D．－

2． 导数的运算法则
若的导数都存在，则 ：
① ② 为常数）；
③ ④

例1：求下列函数的导数
（1） (2）

例2：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )
A． (-3,0)∪(3,+∞) B． (-3,0)∪(0, 3)
C． (-∞,- 3)∪(3,+∞) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)
[解析]：∵当x＜0时,＞0 ，即
∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，
又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0
故当时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0
故当时，f(x)g(x)＜0
故选D

习题精炼：
1.已知曲线求
(1).曲线在P(1,1)处的切线方程.
(2).曲线过点Q(1,0)的切线方程.
(3).满足斜率为-的切线的方程.

2.求在点和处的切线方程。

3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学

4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)

5.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

6.（福建理10）已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

7.（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为
A． B． C． D．

8.（全国Ⅰ文4）曲线在点（1,0）处的切线方程为
（A） （B） （C） （D）

二、导数的应用
（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有，则为常数。
1.函数单调性
（1） 简单函数单调性
例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )

[解析]：由函数的图象可知：
当时， <0，>0，此时增
当时，>0，<0，此时减
当时，<0，<0，此时减
当时，>0，>0，此时增
故选C
例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
解：
若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾
若， ∴ ，也只有一个单调区间，矛盾
若 ∵ ，此时恰有三个单调区间
∴ 且单调减区间为和，单调增区间为
例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，
所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.

（2） 含有参数的函数单调性

例1：已知函数，其中
(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求证：对，都有。

（3） 定区间上函数单调性
例1：已知，若函数在（-1,1）内是减函数，求的范围。

例2：已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。

例3：已知函数设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的范围。

例4已知函数，x其中a>0.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。
【答案】

2.极值与最值
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

（1） 简单的求极值最值
例1：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .
[解析]：由=0，得，
当时，>0，当时，<0，当时，>0，
故的极小值、极大值分别为，
而
故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

例2：设，集合，，.
（1）求集合（用区间表示）
（2）求函数在内的极值点.
【答案】
【解析】（1）令，
。
① 当时，，
方程的两个根分别为，，
所以的解集为。
因为，所以。
② 当时，，则恒成立，所以，
综上所述，当时，；
当时，。
（2），
令，得或。
① 当时，由（1）知，
因为，，
所以，
所以随的变化情况如下表：

0

↗
极大值
↘
↗
所以的极大值点为，没有极小值点。
② 当时，由（1）知，
所以随的变化情况如下表：

0

0

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以的极大值点为，极小值点为。
综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；
当时，有一个极大值点，一个极小值点。

例3：已知函数其中
(1)当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)当时，求函数的单调区间与极值。
解：（I）

（II） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2） 恒成立与能成立问题
例1：已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中国^教育出版&网~]
（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；[z
（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.
【答案】解：令.
当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（Ⅱ）由题意知，
令则

令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在
使即成立.

例2：设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

例3：已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.

例4：设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在内没有极值点，求的取值范围；
（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。

（3） 交点个数的问题
例1：已知是函数的一个极值点。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

例2：已知函数
（1） 求的单调区间
（2） 在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。

习题精炼：
1.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分）
设a＜1，集合，，。
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数在D内的极值点．

2.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）
设。
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。
【解析】（I）设；则，
①当时，在上是增函数，
得：当时，的最小值为。
②当时，，
当且仅当时，的最小值为。
（II），
由题意得：。
3.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为
（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．
【解析】（Ⅰ）因 故 由于 在点 处取得极值
故有即 ，化简得解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
令 ，得当时，故在上为增函数；
当 时， 故在 上为减函数
当 时 ，故在 上为增函数。
由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为

4.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）
设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.
（1）求a,b的值；
（2）求函数f(x)的最大值
（3）证明：f(x)< .
【答案】

5.（江西理19）设.
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.

6.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）
设定义在（0，+）上的函数
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为，求的值。
【解析】（I）（方法一），
当且仅当时，的最小值为。

（II）由题意得：， ①
， ②
由①②得：。

7.（全国Ⅰ文21）设函数
（Ⅰ）若a=，求的单调区间；
（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围

8.（天津文20）已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．

9.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)
设，证明：
(Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ）
(Ⅱ)当时，
【答案】

10.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ）求函数的极值.
【答案】

11.已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。

12.设为实数，函数。
(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，。

13. (本小题满分14分)已知R,函数R,为自然对数的底数).
（Ⅰ）当时,求函数的单调递增区间;
（Ⅱ）若函数在上单调递增,求的取值范围;
（Ⅲ）函数是否为R上的单调函数，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由.

14.已知函数.（）
（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

15.已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.