1、第12讲 变化率与导数、导数的计算一、选择题1设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0()Ae2 Be C. Dln 2解析：f(x)ln x1，f(x0)ln x012，ln x01，x0e.答案：B2(2009福建厦门)已知f(x)sin xln x，则f(1)的值为()A1cos 1 B1cos 1 Ccos 11 D1cos 1解析：f(x)cos x，f(1)cos 11.答案：B3曲线yxln x在点(e2，e22)处的切线在y轴上的截距为()A1 B1 Ce2 De2解析：因为y1，所以曲线在点(e2，e22)处的切线的斜率为k1 ，切线方程为ye22(xe2)，即yx1，令
2、x0，得y1，故应选A.答案：A4(2009辽宁卷)曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1解析：y，y|x12.故由点斜式得所求切线方程为：y2x1.答案：D二、填空题5曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是_解析：两曲线方程联立得解得y，k11，k22x|x12.两切线方程为x+y-2=0，2x-y-1=0.所围成图形如右图所示，S1.答案：6(2010盐城调研)已知曲线C：yln x4x与直线x1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是_解析：由已知得y4，所以当x1时有y3，即过点P的切线的斜率k3，又yln 144，故
3、切点P(1，4)，所以点P处的切线方程为y43(x1)，即3xy10.答案：3xy107(2009福建卷)若曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：f(x)2ax，由题意得2ax0(x0)有实根，a0.答案：(，0)三、解答题8(2010大连模拟)已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求函数yf(x)的解析式解：由函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，知12f(1)50，即f(1)2，f(1).f(x)，即解得a2，b3(b10，b1舍去)所以所求的函数解析式是f(x).9已知曲线C：yx33x22x，
4、直线l：ykx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标解：直线l过原点，则k(x00)由点(x0，y0)在曲线C上，则y0x3x2x0，x3x02，又y3x26x2，在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为kf(x0)3x6x02.x3x023x6x02整理得2x3x00，解得x0(因为x00)这时，y0，k，因此，直线l的方程为y x，切点坐标是.10(2010临沂调研)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为
5、定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y .又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得，y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.1(2009安徽卷)设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f (1)的取值范围是()A2,2 B， C，2 D，2解析：f(x)sin x2cos x，f(1)sin cos 2sin.，sin.答案：D2()设函数f(x)(xa)(xb)(xc)(a、b、c是两两不等的常数)，则_.解析：f(x)x3(abc)x2(abbcca)xabc，f(x)3x22(abc)xabbcca，f(a)(ab)(ac)f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)0.答案：0
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