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第12讲 变化率与导数、导数的计算
一、选择题
1．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e C. D．ln 2
解析：∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴ln x0＝1，∴x0＝e.
答案：B
2．(2009·福建厦门)已知f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为( )
A．1－cos 1 B．1＋cos 1 C．cos 1－1 D．－1－cos 1
解析：∵f′(x)＝cos x＋，∴f′(1)＝cos 1＋1.
答案：B
3．曲线y＝x＋ln x在点(e2，e2＋2)处的切线在y轴上的截距为( )
A．1 B．－1 C．e2 D．－e2
解析：因为y′＝1＋，所以曲线在点(e2，e2＋2)处的切线的斜率为k＝1＋ ，切线方
程为y－e2－2＝(x－e2)，即y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，故应选A.
答案：A
4．(2009·辽宁卷)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1
解析：y′＝′＝＝，
∴y′|x＝1＝－2.
故由点斜式得所求切线方程为：y＝－2x＋1.
答案：D
二、填空题
5．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是________．
解析：两曲线方程联立得解得
∵y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2.
∴两切线方程为x+y-2=0，
2x-y-1=0.
所围成图形如右图所示，
∴S＝×1×＝.
答案：
6．(2010·盐城调研)已知曲线C：y＝ln x－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点
P处的切线方程是________．
解析：由已知得y′＝－4，所以当x＝1时有y′＝－3，即过点P的切线的斜率k＝－
3，又y＝ln 1－4＝－4，故切点P(1，－4)，所以点P处的切线方程为y＋4＝－3(x－1)，
即3x＋y＋1＝0.
答案：3x＋y＋1＝0
7．(2009·福建卷)若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
________．
解析：∵f′(x)＝2ax＋，
由题意得2ax＋＝0(x＞0)有实根，∴a＝－＜0.
答案：(－∞，0)
三、解答题
8．(2010·大连模拟)已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y ＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式．
解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋
2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，f′(－1)＝－.
∵f′(x)＝，
∴
即
解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，b＝－1舍去)．
所以所求的函数解析式是f(x)＝.
9．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，
求直线l的方程及切点坐标．
解：直线l过原点，则k＝(x0≠0)．由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x－3x＋2x0，
∴＝x－3x0＋2，又y′＝3x2－6x＋2，
∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为
k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.
∴x－3x0＋2＝3x－6x0＋2
整理得2x－3x0＝0，解得x0＝(因为x0≠0)．
这时，y0＝－，k＝－，
因此，直线l的方程为y＝－ x，切点坐标是.
10．(2010·临沂调研)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为
定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝ .又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，
此定值为6.
1．(2009·安徽卷)设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′ (1)
的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]
解析：∵f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin∈.
答案：D
2．(★★★★)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a、b、c是两两不等的常数)，
则＋＋＝________.
解析：∵f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc，
∴f′(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)
∴f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)
∴＋＋
＝＋＋
＝＝0.
答案：0
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