问题四物体平衡问题中的临界问题.doc

问题四：关于物体平衡问题中的临界问题
30°
60°
图1－47
B
C
A
1、用细绳AC和BC吊起一重物，两绳与竖直方向的夹角如图1－47所示，AC能承受的最大拉力为150N，BC能承受的最大拉力为100N．为使绳子不断裂，所吊重物的质量不能超过多少？

2、一光滑球重力为G，半径为R，靠着墙角静止在水平地面上，一厚度为h（h＜R）的木块塞在球的左下方，如图所示，现用水平力F推木块，忽略各接触处的摩擦力，则当F的值至少为多少时，才能将球从地面推起来？

A
θ
B
3、跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图所示，已知物体A的质量为m，物体与斜面的动摩擦因数为μ（μ<tanθ），滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围（最大摩擦力与滑动摩擦力的大小相等）。

4、拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0．若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。

解：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有

Fcosθ+ mg=N ①
Fsinθ=f ②
式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有 f=μN ③
联立①②③得F= ④
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有 Fsinθ≤λN ⑤
这时①式仍满足，联立①⑤得
sinθ-λcosθ≤λ
现考察使上式成立的θ角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有 sinθ-λcosθ≤0 ⑦
使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为 tanθ0=λ