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第12章 各类积分的物理应用
面积分在物理上的应用，包括质量、质心、转动惯量、引力、梯度、散度、旋度等．
9.1 重积分、第一类线面积分的物理应用
1 质量
质量记为。
1．当是平面区域的面密度时，；
2．当是空间区域的体密度时，；
3．当是曲线的线密度函数时，；
4．当是曲面的面密度时，。
2 质心
图9.1
在物理学中我们知道，在水平面上，如果质点离转轴的距离为，则重力矩是。重力矩与有关即与环境有关。为了与环境无关，定义对静矩为。
设的体密度为。的微元（图9.1）的质量，对平面的静矩。因此
类似地，
如果把捏到一点后对各坐标平面的静矩与原来等效，则称为的质心。因此
类似地，在平面上，
平面曲线
空间曲线
曲面
图9.2
【例9.1】 求均匀的球顶锥体(如图9.2)的质心，设该球的球心在原点，半径为，锥体的顶点在原点，对称轴为轴，锥面与轴交角为．
解 均匀即密度为常数（此时质心又称形心）。由对称性知，
，
而
，
，
故
．
所以质心坐标为．
【例9.2】 求质量均匀分布的半球面的质心．
解 由对称性知，根据(9.1)式得
，
而
，故
，
所以质心为 ．
3 转动惯量
我们知道，空间中一质量为的质点对转轴的转动惯量为，为质点到的距离．
设为一个物质几何体，密度连续，在中任取一小块(其度量也用相同记号)，在中任取一点，则小块的质量近似为，关于轴,轴,轴的转动惯量分别为，，。所以关于轴,轴,轴的转动惯量分别为：
．
平面区域、曲线时类似思考。
【例9.3】 求半径为的均匀半圆薄片(面密度为常数)对于其直径边的转动惯量．
解 建立如图9.3所示坐标系，关于轴的转动惯量为：
图9.3
其中为半圆薄片的质量．
【例9.4】 求螺旋线：对轴的转动惯量，曲线的密度为常数．
解
．
4 引力
图9.4
设有一几何体，密度连续，外有一质量为的质点记为，求对的引力．
根据万有引力公式(其中是质点之间的距离，为引力常数)，如图9.4，在中任取一小块(其度量用相同的符号)，则质量元素为，将质量元素看成点处质量为的质点，则质量元素对质点的引力大小为：
，，
引力元素沿与坐标轴平行方向的各分量为：
同理：
；
所以
．
【例9.5】 设半径为的匀质球体，占有空间闭区域，求它对位于()处的单位质量的质点的引力．
解 设球体密度为常数，由对称性知引力分量，对，有
．
9.2 场论初步
1 场
(1) 场：设是一个空间区域。上的一个数量场就是上定义的一个数量函数；上的一个向量场就是上定义的一个向量函数。例如温度场、密度场、电位场是数量场；而力场、速度场是向量场．若该场中物理量在各点处的值不随时间变化，则称该场为稳定场，否则称为不稳定场．本节只讨论稳定场．
(2) 等值面：给定了数量场，则是空间一张曲面，在该曲面上保持常值，称该曲面为等值面．
等量面只能粗略地刻画数量场的分布规律，下面将引进梯度、散度、旋度的概念来更深刻地刻画数量场与向量场的属性．
2 数量场的方向导数与梯度
函数在点处沿方向的方向导数为：
，
其中所对应的单位向量为．
定义9.1 数量场在点的梯度为向量，是等值面指向增加方向的法向量。
其中为向量与向量间的夹角。
3 向量场的通量与散度
(1) 通量
设为向量场，为有向曲面，则称曲面积分
为向量场穿过曲面的通量．若为流速场，则的物理意义为在单位时间内流体通过曲面的体积即流量．
(2) 散度
设为向量场，在场中一点的某个邻域内作一包含点在内的任一闭曲面(方向取外侧)，设其包含的空间区域为(体积也用相同记号)，则为往外流的通量。有东西流出来意味着里面有泉。为中的平均泉强度。极限
为点的泉强度，称为向量场在点处的散度（对于一点来说，“泉”和“散”是同义词），记为，即
．
散度就是泉强度。散度为一数量．若是流体的流速，>0，则在点有泉；若，则在点漏走流体；若在点表示该点无泉无漏．称的向量场为无源场．散度是一个由向量场所产生的数量值函数，称作散度场．
散度有如下计算公式:
定理9.1 设在空间某区域有一阶连续偏导数，向量场，则在定义域内
．
证 取包含点的小区域，其边界曲面为，则由高斯公式和积分中值定理得
，
．
用通量与散度的记号，高斯公式可表示为
．
此说明高斯公式的物理意义为：穿出封闭曲面的通量，等于所围的区域上的散度的“总和”即散度在上的三重积分．
4 向量场的环量与旋度
(1) 环流量
图9.5
设为封闭曲线，为向量场，我们知道，将理解为力时，则为力沿曲线所作的功．下面我们将看作流速场，看看的物理意义．设装有叶片的轮子，平放到有旋涡的河面上，轮子就会旋转，旋转快慢显然与流速在叶片上每点的切向分量有关(如图9.5)，可以用
来刻画环形流动的强弱，称它为沿曲线的环流量(简称环量)．
定义9.2 设是空间任一封闭曲线，取定方向，则称为向量沿的环量．
环量仅仅刻画所围区域的旋涡强弱，一定时，环量越大所围区域旋转越强．进一步我们要研究各点旋涡的强弱，即研究环量对面积的变化率．
设为向量场中一点，在处取定一个方向，再过点任作一微小曲面(其面积也用相同记号)，以为其在点处的法向量，的周界的正向取作与构成右手螺旋关系，如图9.6,则
图9.6
表示流体绕轴旋转的环流量关于面积的平均变化率．若极限
存在，称其为向量场在点处沿方向的环量面密度(即环量关于面积的变化率)．
由定义知，环量面密度越大，流体在点处绕轴旋转的速度越快．对同一点当转轴的方向改变时，环量面密度也随之改变，但总有一方向使得取最大值，这就是下面要介绍的旋度概念．
(2) 旋度
定义9.3 设为向量场。向量场在点处的旋度为向量
旋度反映了向量场在该点的旋转强约。
用旋度记号，Stokes公式可写为:
．
【例9.6】 求向量场的旋度．
解
．
5 有势场、无源场、调和场
(1) 有势场
定义9.4 设有向量场，若存在数值函数，使得，则称向量场为有势场，并称为向量场的势函数，即
．
假设轴与地面垂直,方向向上，我们知道质量为的物体的重力场为，在高为处的势能为，而 ，故重力场是有势场，其势能为重力场的势函数．
*由空间曲线与路径无关的相关结论知，空间向量场在一维单连通区域中，下述命题等价:
(1) 是有势场；
(2) ；
(3) 对于中任意闭路，都有；
(4) 与路径无关；
(5) 存在数值函数，使得．
(2) 无源场
若向量场在任一点的散度，则称为无源场．
(3) 无旋场
若向量场在任一点的旋度，则称为无旋场．
(4) 调和场
若向量场既是无源场又是无旋场，即，，则称为调和场．
6 向量微分算子
(1) 哈米尔顿算子
称向量微分算子为哈米尔顿（Hamilton）算子．读作“纳普拉（Nabla）”． 算子本身只是一种微分运算符号，同时又被看作是向量，即是以为分量的向量，所以它在运算中具有向量和微分的双重性质，其运算规则是:
， (9.2)
． (9.3)
特别地，有，将此式右端记为，也记为，即，称此为拉普拉斯（Laplace）算子．
， (9.4)
故；；．
这样就将梯度、散度、旋度的运算问题转化为算子的运算，而所服从的微分运算法则和向量运算法则是我们所熟悉的．这就是引进算子的原因．
②利用算子，高斯公式与斯托克斯公式可分别写为：
； ．
根据的微分和向量运算法则可证得以下梯度、散度、旋度的基本性质．
(2) 梯度基本性质
(1)
(2)
(3)
(4) （这里）．
(3) 散度基本性质
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【例9.7】 已知，求．
解 ，
，
，
故 ．
(4) 旋度基本性质
(1) ．
(2) ．
(3) ．
【例9.8】 证明:．
证
．
注意：此例是散度基本性质中的(3)式，由此题证明过程知，只要充分利用的向量与微分的二重性质，就不难推出梯度、散度与旋度的一些基本性质．
习题11－9
A类
1．求由下列曲线所围成的均匀薄板的质心坐标：
(1)
(2)（）；
*(3)；
2．求下列均匀曲线弧的质心坐标：
(1)半径为，中心角为的圆弧；
(2)心脏线．
3．求边界为下列曲面的均匀物体的质心：
(1) ；
*(2) ．
4．设一物质曲线在点处它的线密度为，用第一类曲线积分分别表示：
(1) 该物质曲线关于轴与轴的转动惯量；
(2) 该物质曲线对位于线外点处的单位质点的引力．
5．设螺旋形弹簧一圈的方程为它的线密度求：
(1) 它关于轴的转动惯量； (2) 它的质心．
*6．设面密度为常数的匀质半圆环形薄片占有闭区域，求它对位于轴上点()处单位质量的质点的引力．
7．设均匀柱体密度为，占有闭区域，求它对于位于点处的单位质量的质点的引力．
8．设一物质曲面，其面密度为试用第一类曲面积分表示：
*(1) 曲面对三个坐标轴的转动惯量；
(2) 曲面对位于外一点处的单位质点的引力．
*9．求密度为常数的均匀半球壳的质心坐标及对于轴的转动惯量．
10．设，求及．
*11．设都有连续偏导数，证明
(1) ，其中为常数；
(2)
(3) ；
(4) ，其中是正整数．
12．求下列向量场的散度:
(1) ；
(2) ，．
13．求下列向量场沿定向闭曲线的环流量：
(1) （为常数），为圆周，从轴正向看去，取逆时针方向；
*(2) ，为圆周从轴正向看去，取逆时针方向．
14．求下列向量场的旋度：
．
B类
1．在某设计中要在半圆形的直边上添上一个边与直径等长的矩形，使整个平面图形的质心落在圆心上，试求矩形的另一边长．
2．求质量均匀分布，半径为的球面对距球心()处的单位质量的质点的引力．
*3．证明等式：，其中为物体对轴的转动惯量，为物体对通过其质心且与轴平行的轴的转动惯量，为两轴间的距离，是物体的质量．
*4．利用Stokes公式把曲面积分化为曲线积分，并计算积分值，其中，为立方体的表面外侧去掉面上的那个底面，是的单位法向量．
总 习 题 十 一
1．填空题
(1) 设为在第一象限内的部分，则 ．
*(2) 设为抛物线上从点到点的一段弧，则 ．
(3) 设是球面，则 ．
*(4) 设是球面的外侧，则 ．
(5) 设为椭圆，其周长记为，则 ．
(6) 密度为1的旋转抛物体：（记为）绕轴的转动惯量 ．
(7) 设，则 ．
(8) 数量场的 ．
(9) 向量场在点处的散度 ．
2.选择题:
(1) 为从点到点的直线，则 ．
A. B.
C. D.
(2) 对于格林公式，，下列说法正确的是 ．
A.取逆时针方向，函数在闭区域上存在一阶偏导数且；
B. 取顺时针方向，函数在闭区域上存在一阶偏导数且；
C．取逆时针方向，函数在闭区域上存在连续的一阶偏导数；
D．取顺时针方向，函数在闭区域上存在连续一阶偏导数.
(3) 设其中为曲面的下侧，则之值为 ．
A.； B. ； C. ； D. .
(4) 设:为在第一卦限中的部分，则有 ．
A.； B.；
C.； D.
(5) 已知为某函数的全微分，则等于 ．
A.； B.0； C.1； D.2.
3.求，其中
(1) 为圆周的正向；
*(2) 为椭圆的正向；
4.设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导函数，且，计算的值．
解 先求。
令即，解得。由得。。
（注意：这是一个典型的求未知函数的题目。）
5.求，其中是球面外侧在的部分.
*6.设空间区域由曲面与平面围成，其中为正常数，记的表面外侧为，的体积仍为，试证.
*7.求，其中是曲线从轴的正方向看去取逆时针方向．
8.求证，其中的方程为
．
*9．设位于点(0，1)的质点对质点的引力大小为(为常数，为质点与之间的距离)，质点沿曲线自运动到，求在此过程中质点对质点的引力所作的功．
10．在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一挂限的点，问取何值时，力所作的功最大?并求出的最大值．
解 。
由前三方程得，再由第四方程得。根据问题的实际，这就是的最大值点。的最大值是。
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