理科导数复习.docx

星火教育一对一辅导教案
学生姓名

性别

年级
高二
学科
数学
授课教师
赵老师
上课时间
2016年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时：3课时
教学课题
导数及其运用（理科）

教学目标

教学重点与难点

教学过程
导数及其运用
知识网络
导数的概念
基本初等函数的导数公式
导数
函数的单调性研究

的的的
函数的极值与最值研究
导数的定义
导数的物理及几何意义意义
导数的运算
导数的四则运算法则及复合函数的导数
导数的应用
最优化问题
计算定积分

的的的
定积分与微积分
的基本定理
定积分的应用

第1讲 导数的概念及运算

★ 知 识 梳理 ★

1.用定义求函数的导数的步骤.
（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.
2.导数的几何意义和物理意义
几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的
物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处
的
3. 几种常见函数的导数
（为常数）；（）；
； ；
； ；
；.
4.运算法则
①求导数的四则运算法则：
； ； .
②复合函数的求导法则：或

★ 重 难 点 突 破 ★

考点1: 导数概念
题型1.求函数在某一点的导函数值
[例1] 设函数在处可导，则等于
　　A． B． C． D．

考点2求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,
[例2]. 已知,则 .

题型3:求导运算后求切线方程 (求切线方程时已知点是否切点至关重要。)
. 求切线方程可分为两类：
（1）求曲线在某点(切点)处的切线
步骤：1)求；
2)点斜式求方程
（2）求过某点(非切点) 的切线
步骤：1)设切点，则
2)，
3)解，
4)点斜式求方程

[例3] 求在点和处的切线方程。

【例4】求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．

【方法技巧】 点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．
[例5] 如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则= .

巩固练习
1. 求下列函数的导数：
（1） 　 （2）　 　（3）

2. 已知函数
（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

3. 某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为( )
A. B. C. D.

4. 设函数，且，则
A．0 B．-1 C．3 D．-6

5. 设函数，（、、 是两两不等的常数），
则 ．

第2讲 导数在研究函数中的应用
★ 知 识 梳理 ★
1. 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是

3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) .
(2)求方程f′(x)=0的根. （驻点）
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

（一）函数的单调性与导数

【题型一　利用导数判断函数的单调性】
【例1】 证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．

【方法技巧】　关于利用导数证明函数单调性的判断问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.　

【题型二　利用导数求函数的单调区间】
【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3－x；　　(2)y＝ex－x＋1.

【方法技巧】　利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．
【题型三　含参数的函数单调性讨论】
知识梳理
1在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤：
（1）先明确定义域（通常针对的是对数函数）
（2）求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）；即在定义域范围内恒单调递增或递减。
（3）当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置）
（4）根据参数的范围划分好单调区间

例题精讲
例1.试判断函数的单调性.

例2.求函数的单调区间.

例3.求函数的单调区间.

【方法技巧】
含参数的三次函数的单调性讨论
1.首先对函数进行求导（二次函数），判断参数范围内是否恒成立；
2.参数范围内，判别式有正有负，则应对的正负确定参数范围讨论函数的单调性；
3.参数范围内恒成立，则由的根的大小确定参数范围讨论函数的单调性.
【题型四　用单调性与导数关系证不等式】
【例4】 当x＞0时，证明不等式ln x＞x－x2.

【方法技巧】 要证明不等式f(x)>g(x)(x∈(a，b))成立，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，然后利用导数证明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数，若F(a)－g(a)≥0.由增函数的定义可知，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，从而证明了不等式f(x)>g(x)．

（二）函数的极值与导数
【题型一　求函数的极值】
例1.求函数的极值.

例2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间 内有极小值点有（　 ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

【题型二　已知极值求参数值】
【例2】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．

【方法技巧】已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

【题型三　极值的综合应用】
【例3】 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

【方法技巧】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数．

（三）函数的最值与导数
知识梳理
1.函数的最值
一般地，求函数在闭区间上的最大值与最小值步骤：
（1）求函数在内的极值点，并求极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）若函数在区间内不存在极值点或极值点不在区间内，则根据函数在区间内的单调性判断最值.
例题精讲
例1. 求函数在区间上的最值.

例2. 已知函数的最大值为3，最小值为-29，求的值.

【方法技巧】
1.求函数的最值时，先求极值点的函数值，然后与端点处的函数比较，哪个最大就是最大值，哪个最小就是最小值；若函数没有极值点或极值点不在给定区间内时，应根据函数的单调性判断最值. 注意“最值”包括最大值与最小值.
2.对于含参数的函数最值问题，要对其进行分类讨论.

★ 重 难 点 突 破 ★
例题1. 设，．令，讨论在内的单调性并求极值；

例题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）求证：当时，有.

例3 设，函数，，，试讨论函数的单调性．

例4: 若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.

例5. 当，求证

巩固练习
1. 若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）

A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3

2. 函数y=x3+x的单调增区间为（ ）

A.(－∞,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.不存在
3．在区间上的最大值为，则=（ ）
A. B. C. D. 或
4．在区间上的最大值是（ ）

A． B．0 C．2 D．4

5. 若函数在处取得极值,则 .

6. 已知函数,,设．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

7．设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．

8. 已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

9．已知函数图像上的点处的切线方程为．
（1）若函数在时有极值，求的表达式
（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围

10．已知函数是上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意不等式恒成立.

课后练习
1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值 点共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

2．、函数有（ ）
A. 极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C. 极小值－2，极大值2 D. 极小值－1，极大值3

3．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为（ ）

A.1－e B.－1 C.－e D.0

4．若，求函数的单调区间.

5．已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

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