胡永安《铅球投掷中的数学模型》.doc

铅球投掷中的数学模型
胡永安
湖北省来凤县接龙中学 445700

我们知道，铅球的投掷运动是运动员单手托住(磅)重的铅球，在直径为的投掷圆内，将铅球投掷在的有效扇形区域内，以铅球的落地点与投掷圆间的距离作为运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得更远。影响铅球投掷距离的主要因素有哪些呢？在这些主要因素中，哪个更为重要呢？
铅球投掷中涉及的变量很多，为简化问题，我们将铅球视为一个质点，在铅球运行过程中忽略空气阻力的影响，并假设铅球出手时的出手高度、出手速度、出手角度是相互独立的。
铅球出手后就在一个竖直平面内作斜上抛运动，我们以铅球出手点的铅垂方向为轴，以轴与地面的交点到铅球落地点方向为轴，建立如图平面直角坐标系，求出铅球投掷距离关于出手高度、出手速度、出手角度三者的函数关系模型。
我们先求出铅球出手后的运动轨迹方程。

O

设铅球出手后在时刻的动点坐标为，由斜上抛运动的物理学知识得铅球运动方程：

消去参数，得

当铅球落地时，令，得方程

由求根公式解得

舍去负根，得铅球的投掷距离数学模型

由此数学模型式可知，铅球的投掷距离与出手高度、出手速度和出手角度有关。
此数学模型是否能较好地与实际情况吻合？我们由一组数据来对比理论成绩与实际成绩，并计算理论成绩与实际成绩的误差百分率（在理论计算时我们取重力加速度重力加速度），如表1：

姓名
出手高度

出手速度

出手角度

实际成绩

理论成绩

与实际误差
李梅素

李梅素

黄志红

隋新梅

李梅素

表1
从表1的数据我们可以看出，由铅球投掷距离模型计算的结果与实际投掷距离是比较吻合的。
对于一个运动员来说，投掷时的出手高度是相对稳定的，这主要取决于运动员的身高、臂长以及对专业技术的掌握程度。
下面我们用数值摸拟来探究出手速度与出手角度对投掷距离的影响。根据我国优秀铅球运动员出手高度、出手速度、出手角度三个因素的具体情况，我们令出手高度，重力加速度，出手速度在之间变化，出手角度在之间变化。通过计算得到表2：
距离
角度
速度

极差

极差

表 2
从表2可以看出，出手角度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量在之间,出手速度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量在之间。这个计算结果表明，出手速度是影响投掷距离的主要因素。铅球运动员要在比赛中取得较好成绩，在平时训练时应集中主要精力来增加投掷的出手速度。运动员在实际投掷铅球的出手角度一般是在之间。

参考文献：
[1]孙维刚.孙维刚谈全班55%怎样考上北大考上清华[M]. 长春：北方妇女儿童出版社，1999.9
[2]田径教材编写组编.田径[M]. 北京：高等教育出版社，1994.6