牛顿迭代的收敛证明.doc

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《计算方法》课程论文

黑 龙 江 科 技 学 院
（计算机与信息工程学院）

《计算方法》课程论文

牛顿迭代的收敛条件

班 级： 计算机控制07-3班
学 号： 29号
姓 名： 韩静
授课教师： 才智
论文成绩：

2009年5月

牛顿迭代的收敛条件

韩静
（黑龙江科技学院 计算机与信息工程学院）

摘 要：给出了牛顿迭代的广义收敛条件，并在Banach空间中建立相应的收敛定理。
牛顿迭代法x0采取的在此基础上，找到超过x0附近的方程的分步迭代法，以便找到更接近的根源近似方程。如何利用函数f （ x ）的泰勒级数前面的一些方程找到函数f （ x ） = 0的根。牛顿迭代方程的根的重要方法之一，其最大的优点是在方程f （ x ） = 0有一个单一的广场附近的收敛性，该方法还可以用来重新排序方程根。

关键词：牛顿迭代；优序列；收敛性

On The Convergence Condition Of Newton`s Method
Han Jing
(Computer & Information Engineering Department., Heilongjiang Institute of Science & Technology)

Abstract: A generalized convergence condition for Newtion`s method is given and the corrsponding convergence theorem is established. Newton iterative method is based on differential, differential is used to replace the straight-line curve, because of irregular curves, then we study a straight line instead of curves, the remaining difference is infinitesimal high-end, high-end if it is infinitesimal, Newton iteration x0 are taken, the On this basis, to find more than the near x0 of the equation with the step-by-step iteration in order to find closer to the root of the approximate equations with. Ways to use function f (x) the Taylor series in front of a number of equations to find f (x) = 0 root. Newton iteration equations are the root for one of the important ways, its greatest strength is in the equation f (x) = 0 has a single square of near convergence, and the method can also be used to re-order equation root.

Key words: Newton`s method ; majorizing principle ; convergence

1 引言
设f: 是Banach空间E的某个凸区域D到同空间F的非线性算子，众所周知，牛顿迭代
方程最有效的方法 （1((
1sshi
是求解下述方程最有效的方法

Kantorovich L 曾用优函数分析了牛顿迭代法的收敛性。有关这方面的文献还有。但其中大部分的收敛条件都是：f的一阶导数满足Lipschitz条件或者二阶导数在区域D上一致有界。这样的条件通常称为Kantorovich类型的收敛条件。然而，在很多情况下，由于函数非解析而不能满足条件，为此，有人提出了收敛的弱条件。所谓弱条件指：函数的二阶导数在区域内将受到某一相关函数的约束，而不是某一常数。

2 预备知识
为了建立Banach空间上牛顿迭代的收敛定理，我们先来分析牛顿迭代对实函数的收敛性。实事上，它就是牛顿迭代的优函数，定义如下：

引理1

证明引理1
如果定义

我们用数学归纳法证明

显然，当N=0时成立，设对某个N时，上式成立，由引理1可得和，因此有意义且，由归纳证明可知序列{tn}收敛的。
引理3
在前面的假设条件下有：

3 主要定理

4 比较

参考文献：
1 Kysovskii L.The majorant principle and newton`s method. Dok Akod Nauk SSSR,1951,8(76):17~20
2 Altman M. A geneeral majorant principle for funcitonal equations. Bull Acad Polon Sci Ser Math Astronom Phys,1961(9):745~750
3 Gragg W B,Tapia: R A.Optimal error bounds for the Newton-Kantorovich theorem.SIAM J Numer Anal,1974(11):10~13
4 Ortega J .The Newton-Kantorovich theorem.Amer Math Monthly,1968(75):658~660
5 徐翠薇 计算方法引论[M].北京：高等教育出版社，1997.
6 数值分析