矩阵的最大秩分解.doc

矩阵的最大秩分解及其应用
黄爱梅（01数本26号）
摘要：本文给出矩阵分解为两个与同秩的因子的积的具体方法，并讨论它的一些相关应用。
关键词：满秩分解、列满秩、行满秩、初等变换
正文：
定理1：设，则存在矩阵，使得。
证：设，其中，它由的个线性无关列组成，为的其余列所组成的矩阵。为初等列变换矩阵之积。由于的列均为的列的线性组合，故存在矩阵，使得
于是
令
显然有且。
矩阵的这种分解，称为最大秩分解（满秩分解）
定理的证明过程给出求、的方法，可归纳如下：
将进行初等变换，化为行标准型，即将变为如下形式的矩阵。

r个元素不全为零的行

其中“*”表示不一定为0的元素，在中第个元素为1 外，其余的无素均为0（）。于是中列的元素组成的阶矩阵就是。而在中除去下面的个元素全为0行的外，所得的阶矩阵即为。
例1 求矩阵的最大秩分解。
解：将进行行初等行变换，化为标准型

即知的第1、2、3列线性无关，其他列可被这三列线性表示。于是得，其中

在例1中，的第1、2、3列组成了列满秩矩阵，可以看到，我们也可以选择线性无关的第1、2、4列组成列满秩矩阵，于是得到的另一个满秩分解。
例2 求矩阵的最大秩分解。
解；将进行初等行变换，容易计算出的行标准型矩阵为

于是取的前两列组成的矩阵为，再取中非零行组成的矩阵为容易验证，
由于在矩阵理论中，一般“行”具有的性质，对“列”也同样具有，例如在例2中，将通过一系列初等列变换，可化为标准形是
于是取不为零的列组成的矩阵为，再取的前两行组成的矩阵为，容易验证，
由例2可得，故的最大秩分解不唯一。
更一般地，对于矩阵的满秩分解，可变为，这就又得到的一个满秩分解。因此我们知，满秩分解不唯一，但存在下述定理：
定理2 设，且 （1）
均为其满秩分解，则一定存在，使得
（2）
证：由（1）得
（3）
因可逆，于是从（3）得
（4）
其中
同理有 （5）
其中
将（4）（5）代入（1）中得

上式两端同时左乘、右乘得
（6）
再利用的、可逆性，即有
亦即、为互逆的方阵，记，则。从而得到（3）。 证毕。
下面我们讨论满秩分解的应用
我们知道列满秩阵左可逆，行满秩阵右可逆，满秩阵可逆，但对于一的矩阵，并没有逆阵的定义，那么有了矩阵的满秩分解，是否可以将矩阵的逆的概念，再进一步地推广呢？
我们知道，若，则矩阵可逆且，对于，它有满秩分解，因此最直接的想法是对矩阵的“逆”做如下定义
显然，与矩阵可相乘。
首先注意到（7）定义的“逆”，同左逆、右逆一样，可以是一个矩阵集合。但是否会因为满秩分解的不唯一而使得这个矩阵集合也不唯一呢、我们用下面的定理回答这一问题、
定理3 设，均为矩阵的满秩分解，记，分别是这两个满秩分解所得矩阵按（7）的定义的矩阵集合，则。
证明：依定理2，存在，使得
，存在，使。
又

即、分别是、的左逆、右逆。
因此。即。
同理可证。
故得。证毕。
由此知道，（7）定义的“逆”决定于矩阵本身，并非决定于满秩分解的形式、
其次利用定理3容易验证（7）与我们已有的逆的概念是统一的，即若为可逆方阵，则，而为列满秩或行满秩阵时，或，我们称为矩阵的广义逆。
参考文献：
1.《矩阵理论基础》 姜家辉著 大连理工出版社
2.《矩阵理论》 黄廷祝著 高等教育出版社
3.《矩阵分析》 杨克劭著 哈尔滨工业大学出

矩阵理论期末论文

题目：矩阵的最大秩分解
单位：莆田学院
班级：01级数学与应用数学本科班
姓名：黄爱梅
学号：2001141126

2005年1月26日