第31讲 柱锥台球及三视图【文科】.doc

数学第一轮复习讲义 第五章 立体几何
第三十一讲 柱锥台球及其直观图、三视图的画法

【复习目标】
1、 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2、 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；
3、 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；
4、 会用平行投影画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
【基础知识回顾】
1、棱柱的定义：__________________________________________________________________________。
2、棱柱按底面图形分，可分为______________________________________；
按侧棱与底面是否垂直可分为________________ 和________________；底面是正多边形的直棱柱叫做___________________；底面是平行四边形的棱柱叫做_____________________；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做_____________________。
3、棱锥的结构特征：有一个面是______________，其余各面都是有一个_____________的____________。
4、棱台的定义：__________________________________________________________________________。
棱台的各侧棱延长后交于一点。
5、分别以矩形、直角三角形、直角梯形、圆的____________、___________、__________、_______所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台、球。
6、柱锥台球的面积和体积公式：
名称
图形
侧面积
表面积
体积
圆柱

圆锥

圆台

球

（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=____________
（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=_______________
（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=___________________;
注：(1)对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。
(2)祖暅原理： ______________________________________________________________________。
7、球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的______，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的________。
8、在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长就叫做两点的_____________。
9、空间几何体的直观图常用　　　　　画法来画，其规则是：
①在图形中取水平平面，取互相垂直的轴再取轴，使　 ，且　 ；
②画直观图时，把画成对应的轴，使　　　（或　　　），　　．所确定的平面表示水平平面；
③在已知图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴、 轴或
轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④在已知图形平行于 　 轴和　 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的　　　；
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
10、平行投影的投影线互相平行，中心投影的投射线相交于一点．
平行投影的性质：
（1）

（2）

（3）

（4）

（5）
11、在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影，正投影的性质：
⑴垂直于投射面的直线或线段的正投影是 ；
⑵垂直于投射面的平面图形的正投影是 或 ．
12、三视图：为了使画出的图形更准确地反映空间图形的大小和形状，通常总是选择三个两两互相垂直的平面作为投射面作正投影；
一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做 ；
一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做 ；
和直立，水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投射到这个平面内的图形叫做 。
将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图。
13空间几何体的三视图的画法规则：
高平齐：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
长对正：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
宽相等：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
14.常见的简单几何体的三视图
（1）圆柱的主视图和左视图都是 　　　 ，俯视图是 　　　 ；
（2）圆锥的主视图和左视图都是 　　　 ，俯视图是 　　　 ；
（3）圆台的主视图和左视图都是 　　　 ，俯视图是两个同心 　　　 ；
（4）球的主视图、左视图和俯视图都是 　 。
【基础知识自测】
1、以下说法中正确的是（ ）
A、有两个面平行，其余各面为平行四边形的多面体是棱柱
B、任意一个直棱柱去掉两个底面，沿一条侧棱剪开，然后放到一个平面上展开，它是一个矩形；
C、长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体； D、正四棱柱是正方体。
2、．如图，是的直观图，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形

3、一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为 ( )
A． B． C. D．
4、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（　　）
A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④

5、（2010陕西）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
是
（A）2 （B）1 （C） （D）

6、.如图1，△ ABC为三角形，// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是

7、（2010福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
A． B．2
C． D．6
8、（2010上海春高）在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm、最长80cm，则斜截圆柱侧面面积S= ___________cm2.

9、（2010上海春高)各棱长都为1的正四棱锥的体积 。

【典型例题】
一、 空间几何体的结构特征
例1、 下面是关于四棱柱的四个命题，其中真命题的编号是________。
① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
② 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
跟踪训练：（2010福建）如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（ ）
A. ∥ B.四边形是矩形
C. 是棱柱 D. 是棱台
二、关于柱、锥、台体基本元素的计算
例2、设正四棱锥的底面边长为，高为，求棱锥的侧棱长和斜高。

拓展训练：(2010全国卷10）
1、如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
(A) (B) (C) (D)

2、正三棱台两底面边长分别为3cm和6cm，高是cm。
（1） 求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积与表面积。

三、几何体的体积
例3、如图，已知在多面体中，两两垂直，平面,平面,,,求该多面体的体积。
F
E
C
D
A
B
G

跟踪练习：已知是棱长为的正方体，E、F分别为棱与的中点，求四棱锥的体积。

四、球 的概念与性质
例4、设地球半径为R，在北纬圈上有A、B两地，它们的纬度圈上的弧长等于。求A、B两地间的球面距离。

跟踪训练：（2010四川文）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别
与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是
（A） （B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（C） （D）
五、几何体的三视图和直观图
例5、已知的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则原的面积是

【变式训练】
已知一个边长为2的正三角形ABC，其斜二测直观图的面积为
例6、画出如图所示正四棱锥的三视图．

【强化训练】
（1）、下图所示的是一些立体图形的三视图，请说出立体图形的名称．

（2）、下图是一个简单组合体的三视图， 想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
侧视图
俯视图
正视图

（3）.(09山东文)一空间几何体的三视图
如图所示,则该几何体的体积为(　　 ).
A. B.
C. D.

俯视图

（4）、（2010安徽文）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
A、372 B、360
C、292 D、280

第三十一讲《柱锥台球及其直观图、三视图的画法》
课后定时达标训练
命题人：刘洁 孙蕾 审核人：杨树明 使用时间：2010.12.23—24
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、（2010山东文科）在空间，下列命题正确的是
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
2．（2010福建文科3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
A. B.2 C. D.6
3、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
１
２
１
２
３

(A) (B) (C) (D)
4、如图所示的直观图，其平面图形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

5、 下列说法中正确的是（　　）
Ａ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
Ｂ．梯形的直观图可能是平行四边形
Ｃ．矩形的直观图可能是梯形
Ｄ．正方形的直观图可能是平行四边形
6、（09宁夏海南）一个棱锥的三视图如图，则
该棱锥的全面积（单位：）为
（A） （B）
（C） （D）
7、(2010全国）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
（A）1 （B） （C）2 （D）3
8、（2010浙江文）
若某几何体的三视图（单位：cm）
如图所示，则此几何体的体积是

（A）cm3
（B）cm3
（C）cm3
（D）cm3

二、填空题（每小题5分，共20分）
9、（2010辽宁文）如图，网格纸的小正方形的边长是1
，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面
体最长的一条棱的长为______.

10、已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到
圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.
11、(2010湖北文）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的
球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，
则球的半径是 cm．

12、（2010年天津卷文科12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。

三、解答题共（40分）
13、(2010宁夏文科12)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面 平面;
（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。
解：

14、（2010年山东文科，满分14分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且.
（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥与四棱锥的体积
之比.

15.(09年广东，满分14分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明:直线BD平面PEG．

第三十一讲 《柱锥台球》当堂检测
命题人：刘洁 孙蕾 审核人：杨树明 使用时间：2010.12.23-24
1. 以下命题中真命题的个数是（ ）
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点。
A、0 B、1 C、2 D、3
2、)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2

3、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

4、（2010湖南文科）图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm

图1

5、选作题（2010上海文数）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

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