黄冈中学高考数学知识点与典型例题.doc

黄冈中学
高考知识点与典型例题
集合

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第一部分 高考数学知识点重点难点

解集合题首先想到Φ=方程无解

一，数学思想应用

1、数形结合思想 在解集合题中的具体应用:

数轴法, 文氏图法, 几何图形法 数几文

2、函数与方程思想 在解集合题中具体应用:

函数法 方程法 判别式法 构造法

3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用:

列举法 补集法 空集的运用 数学结合

4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用:

列方程 补集法 文氏图法

二,集合的含义与表示方法

1、一般地，我们把研究对象统称为元素
把一些元素组成的总体叫做集合

2、集合元素三特性
1.确定性； 2.互异性； 3.无序性

3、 a是集合A的元素，a∈A a不属于集合A 记作 aÏA
立体几何中体现为 点与直线/ 点与面 的关系
元素与集合之间的关系
,.

4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0
正整数集N*或 N+ 不含0
整数集Z 有理数集Q 实数集R

3、 集合表示方法： 列举法 描述法 韦恩图

4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。

描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是
{xÎR| x-3>2} {x| x-3>2}

集合的分类： 有限集 无限集 空集

三、集合间的基本关系
“包含”关系—子集有两种可能
立体几何中体现为 直线与面关系
（a） A是B的一部分
（b） A与B是同一集合。反之: AB BA
（c） A∩B=A C UBÍC UA
（d） A∪B=B C UBÍC UA
（e） C UAÍC UB

2． “相等”关系(5≥5，且5≤55=5)

① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②真子集:如果 AÍB且A¹ B AB或BA

③AÍB, BÍC AÍC

④ AÍB 且BÍA A=B

我们把不含任何元素的集合叫做空集，Φ
规定: 空集是任何集合的子集，ΦÍA

空集是空集的子集 ΦÍΦ
空集是任何集合的子集该集合可为空集，必考虑Φ

空集是任何非空集合的真子集
ΦA∩B A∩B集合一定非空方程有解

四、集合的运算

1．A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、A∪B={x|x∈A，或x∈B}．且 与 或 是区分交与并的关键

3、 交集与并集的性质：
A∩A = A A∩φ= φ A∩B = B∩A
A∪A = A A∪φ= A A∪B = B∪A

4、全集与补集
（1）补集： CSA ={x | xÎS且 xÏA}
S

CsA
A

（2） 全集：含各个集合的全部元素U

（3） 性质： CU(C UA)=A CUU=Φ CUΦ=U

(C UA)∩A=Φ (CUA)∪A=U

CUA∪B=U CUA∩B=Φ B Í A

已知集合A、B，当时，你是否注意到“极端”情况：
∪ ∪ ∩； 求集合的子集时不能忘记

1、 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集个数 真子集
非空子集 非空真子集为
① 交换律：； ；
② 结合律：；
③ 分配律：；
④

； ； ；
⑤ 反演律： ， 并补补交
交补补并

； 补交并补
补并交补

中元素的个数的计算公式为：
二并和减交
二交和减并

三并和减交加交

注意：讨论的时候不要遗忘了的情况.
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
②点集与数集的交集是.
例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =
包含关系：
等价关系：
求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U
吸收律 A∪(A∩B) = A A∩(A∪B) = A
传递性：A⊂B且B⊂C ⇒ A⊂C；
A⊆C，B⊆C ⇒ A∪B⊆C
C⊆A，C⊆B ⇒ C⊆A∩B
若 A ∪B = U 且 A ∩B = Ø 则 B = AC。
Ø ⊆ A ⊆ U
A-B-C =A-(B+C)=A∩CU(B∪C) 减交补

三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
错解：求M∩N及解方程组 得 或 ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,
M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.
当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
正解：∵A∪B=A ∴BA 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}
∴B=或 ∴C={0，1，2}

[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有： （ ）
A．m+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不属于A，B，C中任意一个
错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, ∴m+n=4a+1,故选C
错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.
正解：∵mA, ∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．
错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须
∴ p的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1ÏA.
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－∈A.
⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.
解：⑴2∈A Þ －1∈A Þ ∈A Þ 2∈A
∴ A中至少还有两个元素：－1和
⑵如果A为单元素集合，则a＝
即＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集
⑶a∈A Þ ∈A Þ ∈AÞA，即1－∈A
⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠
②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－
③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.
综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
[例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．
证明：任设∈A，
则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+),
∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*
∴ a∈B故　　　　 ①
显然，1，而由
B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B　　　　 ②
由①、② 得AB．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．
四、典型习题导练
1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0， x∈ Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（　　）
A．16          B．14 C．15         D．32
2．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（　　）
　A．{2，-2 }    B．{－2，－ } C．{±2，± }     D．{，－}
3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P　　　B．Q C． 　　D．不知道
4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q=　　 B．P Q C．P=Q 　　　　D．P Q
5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝ （ ）
　　A．　　　　　　　 B．
　　C．　　　　　　　 D．
6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．
7.设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
8.已知集合A=和B=满足
A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.

典型例题讲解

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

●难点磁场
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.

●案例探究
［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.

［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

●锦囊妙计
1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.

●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则( )
A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=

2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，则( )
A.－3≤m≤4 B.－3<m<4
C.2<m<4 D.2<m≤4

二、填空题
3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________.

4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________.

三、解答题
5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C=同时成立.

6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠.

7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},当A∩B=B时，求b的值.

8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求证：AB;
(2)如果A={－1，3}，求B.

参考答案
难点磁场
解：由得x2+(m－1)x+1=0 ①
∵A∩B≠
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.
当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
故所求m的取值范围是m≤－1.

歼灭难点训练
一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=
nπ+,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.
答案：C
2.解析：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,
∴即2＜m≤4.
答案：D
二、3.a=0或a≥
4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=.
答案：ab=
三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠,
∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2.
6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B至多有一个元素.
(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.
7.解：由w=zi+b得z=,
∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.
∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.
又A∩B=B，即BA，∴两圆内含.
因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.
8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.
(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得

∴f(x)=x2－x－3.
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.
将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0
解得x=1,3,,－.
故B={－，－1，，3}.