运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法.doc

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©管理与人文学院 忻展红
1999，4

第三章 运输问题
— 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。 荀子《劝学》
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3.1 运输问题的一般数学模型
l 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资
l 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销地的销量，åai=åbj 称为产销平衡
l 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：

运输问题有m´n个决策变量，m+n 个约束条件。由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问题的基变量只有m+n–1 个
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3.2 运输问题的求解方法
l 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1
l 基变量的个数远小于决策变量的个数
l 采用表上作业法，称为位势法和踏石法
l 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)

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3.2.1 寻找初始可行解的方法
l 1、西北角法
l 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配
xij 的分配公式

例3.2.1

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例3.2.1 西北角法

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2、最低费用法
l 采用最小费用优先分配的原则，看一步

f(x)=121，比
西北角法低
84
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3、运费差额法
l 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大)优先分配的原则，看两步

f(x)=98，比
最低费用法
又低了23

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3.2.2 利用位势法检验分配方案是否最优
l 不采用单纯型法，如何获得xij的检验数
l 找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原问题的解不是最优解；否则，达到最优解

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位势法的原理
l 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij³0，则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0
l 共有m+n-1个基变量xij ，因此可得m+n-1个等式 ui+vj=wij
l m+n-1个等式只能解出 m+n-1个 ui 和 vj ，而一共有m+n个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n-1个的值；这就是位势法
l 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用
l 若对所有非基变量有 zij - wij £ 0，即 ui + vj £ wij，表明当前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前m+n-1个基变量xij 是最优解，否则
l 从 zij - wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量

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3.2.3 踏石法
l 1、找入变量
l 从 zij - wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
l 2、以 xij 为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路
l 该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括 xij )，且回路中每行每列只有两个变量
l 3、求入变量 xij 的最大值及新基变量的解
l 从 xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“-”和“+”，表示“-”和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平衡
l 标有“-”的变量中最小者就是出变量xij* ，对应 xij*的值就是所求入变量 xij 的最大值
l 标有“-”的变量减去 xij*，标有“+”的变量加上 xij*
l 4、用位势法求新基变量的检验数
若所有 zij - wij £ 0，则达到最优，算法停止；否则返回 1
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例3.2.1 踏石法，以最低费用法所得初始解开始

OBJ=121

OBJ=101

答：最优解如上分配表，OBJ=98
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3.3 运输问题迭代中的一些具体问题
l 3.3.1 闭合回路的画法
l 从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法
l 闭合回路不一定是矩形
l 3.3.2 产销不平衡
l 供过于求，即 åai > åbj ，增加一个虚收点Dn+1，bn+1= åai - åbj , 令 wi,n+1=0, i=1,2,…,m
l 供小于求，即 åai < åbj ，增加一个虚发点Wm+1，am+1= åbj - åai , 令 wm+1,j=0, j=1,2,…,n
l 3.3.3 关于退化问题
l 1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n-1。必须补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
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3.3.3 关于退化问题
l 2、迭代过程中出现退化
l 闭合回路中标有“-”的基变量同时有多个达到最小
l 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其余保留在新的基础解中
退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中
2、不能正确画闭合回路
3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中多次令某个 ui 或 vj 为 0；
4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui和 vj ，说明基变量未选够数或未选对