函数概念及图象.doc

函数的概念和图象
　　一、内容综述：
　　1．函数的有关概念：
　　一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
　　对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
　　（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。
　　（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。
　　2．求函数自变量的取值范围
　　求函数自变量的取值范围的原则是：
　　（1）解析式是整式，自变量可以取一切实数。
　　（2）解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零。
　　（3）解析式是无理式，如果是二次根式，自变量的取值范围应使被开方式的值大于或等于零，如果是三次根式，自变量可以取一切实数。
　　（4）如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量的取值范围同时满足它们各自的条件。
　　3．函数值
　　与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。
　　4．函数的图象
　　在直角坐标系内用描点法可以画出函数的图象,函数图象实现了数与形的相互转化。
　　二、例题分析：
　　例1．判断 y=2xsin600+tan450与 y=x·cot300+(x-2)0是否是同一个函数。
　　分析：判断两个函数是否是同一个函数，应从对应关系和自变量取值范围两方面来判断，由于y=2xsin600+tan450的自变量取值范围为任意实数，而y=x·cot300+(x-2)0的自变量取值范围为不等于2的一切实数，所以它们不是同一函数。
　　解：∵y=2xsin600+tan450=+1,　x取任意实数。
　　y=x·cot300+(x-2)0=+1,　x取不等于2的实数。
　　∴y=2xsin600+tan450与y=x·cot300+(x-2)0不是同一函数。
　　例2．判断y=x与y=是否是同一函数。
　　解：∵ y==|x|
　　当x≥0时，y=x,

　　当x<0时, y=-x.
　　∴ y=x与y=不是同一函数。
　　说明：虽然这两个函数的自变量取值范围都是全体实数，但当x<0时，两个函数的对应关系不同（如当x=-2时，y=x=-2, 而y==2）, 所以它们不是同一个函数。
　　例3．求下列函数中自变量x的取值范围。
　　(1) y=-　　(2) y=
　　(3) y=(x2-3)0　　　(4) y=+ 　　(5) y=
　　解：（1）依题意，得
　　解得：-2≤x<3,
　　∴ 自变量x的取值范围是-2≤x<3。
　　(2) 依题意得：

　　解得:
　　∴ 自变量x的取值范围是x≥1且x≠3.
　　(3)依题意可得： x2-3≠0
　　解得：x≠±
　　∴ 自变量x的取值范围是x≠±的实数。
　　（4）依题意得:
　　解得：
　　∴ 自变量x的取值范围是x<-或-<x≤-2,或 2≤x<或 x>.
　　(5) 依题意可得：　或
　　解得 -1≤x<或空集,
　　∴ 自变量x的取值范围是-1≤x<.
　　说明：此题可按照“求函数自变量的取值范围的原则”来考虑。
　　例4．不画图象，求函数y=-x+的图象上一点P，使点P到x轴，y轴的距离相等。
　　解：当点P在第一，三象限内，
　　依题意，设P(a,a)
　　∴ a=-a+　　解得：a=1.
　　当点P在第二，四象限内，设P（b,-b）
　　∴ -b=-b+　　解得：b=-3,
　　∴点P坐标为（1，1）或（-3，3）。
　　说明：由点P到x轴、y轴的距离相等知点P在各象限角平分线上，由于第一，三象限角平分线上的点M（x,y）满足x=y的关系，而第二，四象限角平分线上的点N（x,y）满足x=-y的关系，所以可根据点P的位置特点来设点P的坐标，通过此例训练分类讨论思想。
　　例5．已知如图：正方形ABCD中，E是BC边上的点，F是CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设ΔAEF的面积为y，EC为x，求y与x之间的函数关系式，并画出这个函数的图象。
　　解：∵四边形ABCD是正方形，
　　∴AB=AD，∠B=∠D=900，
　　又∵AE=AF，

　　∴ΔABE≌ΔADF，∴ BE=DF，　

　　∵ BC=CD，
　　∴ EC=FC=x, ∴BE=DF=4-x,
　　∴SΔAEF=AB2-2×SΔABE-SΔECF　　　　　　　　
　　　　　　=42-2××4×(4-x)- x2
　　∴ y=-x2+4x　
　　∵点E在BC边上，且为E与C重合时，ΔAEF不存在，
　　∴x的取值范围是0<x≤4。
　　列表：

　　它的图象如图：

　　说明：此例结合图形由正方形，三角形面积公式不难求出y和x之间的函数关系式，问题容易出在画函数图象上，因为此例是一个与几何有关的函数，自变量取值应保证几何图形的存在（保证ΔAEF存在），点E在BC上运动，点E能与点B重合，不能与点C重合，所以0<EC的长≤4即 0<x≤4.
　　由描点法画出的函数图象应是一段曲线（一端为实心，一端为空心）。
　　三、自我检测：
　　1．公共汽车票价改革前，某路公共汽车共15站，乘车3站以内票价3角，4站至6站票价5角，7站以上，票价7角，问：
　　（1）票价y是不是所乘站数x的函数，
　　（2）在平面直角坐标系内画图象。
　　2．若x,y均为实数，且y=，求x+y的值。
　　3．下列函数中哪两个表示同一函数。
　　(1)y=和y=x 　　　(2) y=2x和 y=
　　(3) y=和 y=·
　　(4)y=和y=()2　 　　(5)y=与y=|x|
　　(6) y=x与y=
　　4.选择题：
　　（1）在下列等式中，y是x的函数的是（　　 ）
　　A、y=+　　B、y=x2
　　C、y=　　　　　D、y=
　　（2）如图，下列四个半圆中，可以做为函数图象的是（　　 ）

　　　　　①　　　　　　 ②　　　　　　③　　　　　　④
　　A、①和②　 B、③和④　　　　 C、②和④　 D、①和③
　　5.填空:
　　（1）设角a是锐角，函数y=(sina-)0中，自变量a的取值范围是________。
　　（2）函数y=2x2-3x-4当 x=-时，y=__________。
　　（3）已知：y=--4, 则x2-y2=__________。
　　（4）已知点C（cot300,m）在函数y=-x·tan450+cos600图象上，则m的值为_____________。
　　（5）函数y=x2-x-的图象与x轴交点坐标为_________。
　　答案：
　　1．（1）y是x的函数。
　　（2）图象如图所示：

　　2．∵

　　 ∴　　∴=4,x=±2
　　∴ y=0,　 ∴ x+y=±2.
　　3. (5)　 (6)
　　4. (1)B　　 (2)C.
　　5. （1）00<a < 900 且a≠300 　　（2）-2　　　 （3）x=5, y=-4, x2-y2=9
　　(4)　　　(5) (5,0)(-,0)
函数期末复习
　　(一)、重点难点点拨：
　　本章重点是理解一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的概念、图象和性质。本章难点是对函数概念的理解，二次函数知识的灵活应用，二次函数、一元二次方程与根的判别式之间的关系。要掌握重点、难点，必须注意以下问题。
　　一、直角坐标系
　　1.点P和它的坐标(x, y)的关系
点P在各象限的坐标符号
点P在坐标轴上的坐标
一
二
三
四
x轴
y轴
原点
x>0
x<0
x>0
(x,0)
(0,y)
(0,0)
y>0
y<0
P(x,y) 关于
　　2.特殊位置的两点间的距离
　　(1)同一数轴上两点间的距离　　如果数轴上任意两点A、B的坐标分别为xA,xB，那么|AB|=|xB-xA|(即两点坐标差的绝对值)。
　　(2)若P1P2平行于x轴，则y1=y2，于是P1P2=|x2-x1|。
　　(3)若P1P2平行于y轴，则x1=x2, 于是P2P2=|y2-y1|。
　　(4)若P1P2中有一个是原点，则P1P2=或P1P2=。
　　(5)若P1，P2重合，则P1P2=0。
　　二、函数的有关问题
　　1.每一个含一个字母的代数式都是这个字母的函数。如2x-3是x的函数。
　　2.求函数的解析式的一般用待定系数法。
　　3.自变量的取值范围，确定自变量取值范围的依据主要是能使函数表达式有意义。
　　4.二次函数与一元二次方程，根的判别式之间的关系。见表：
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

　　图象与x轴有两个交点

　　图象与x轴有一个交点

　　图象与x轴没有交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0的根
有两相异实根
x1,2= (x1<x2)
　　有两相等实根
　　x1=x2=-
　　没有实根
　　三、四类初等代数函数
　　1.一次函数y=kx+b(k≠0)是最简单的函数，令b=0时，即可化为正比例函数y=kx。依据两个独立条件可确定k、b，即可求出一次函数的解析式。
　　2. 反比例函数y=(k≠0)，依据一个独立条件可确定k.
　　3.依据三个独立条件可以确定a、b、c，即可求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
　　求二次函数式可设如下三种形式：
　　(1)一般式y=ax2+bx+c(a≠0).
　　(2)顶点式 y=a(x+m)2+n(a≠0)
　　(3)两点式y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2是该二次函数的图象与x轴的两个交点)。
　　已知二次函数图象上三点坐标、顶点坐标与x轴两交点横坐标时，分别对应使用上面三式表示较为方便。
　　(二)、例题分析
　　1.如图，ABCD中，AB=m，BC=n，∠ABC=120°，以AB为X轴，A为原点建立直角坐标系，求C、D两点的坐标。
　　分析：分别过C、D两点作AX的垂线交X轴于E、F两点，分别解RtΔBCE、RtΔADF求解。
　　解：∵BC=AD=n, AB=CD=m, 在RtΔBCE中，
　　CE=BC·sin∠CBE=nsin60°=,　AF=BE=BC·cos∠CBE=
　　AE=AB+BE=m+,
　　∴C点坐标为(m+,n), D点坐标为(,n).
　　2.如图，在ΔABC中，AB=6，、BC=4，AC=3，DE//BC，设DB=x，ΔADE的周长为y。
　　(1)求以y为函数，x为自变量的函数关系式。
　　(2)画出此函数的图象。
　　分析：考虑DE//BC，ΔADE∽ΔABC，利用相似三角形对应边成比例，求出函数解析式。
　　解： (1)∵DE//BC， ∴ΔADE∽ΔABC，
　　则， 即 ，
　　则所求函数解析式为 y=-x+13(0<x<6).
　　(2)图象是连接两点(6,0),(0,13)间的线段，去掉这两个端点(图象略)。
　　3.已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12。从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于。设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
　　分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况。
　　解：如图∵ 矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，
　　∴ AD>4, AB<2.
　　根据题意，可分为以下两种情况：
　　第一种情况，如图1
　　当tan∠BAE=时，设CE=x, BE=m，则
　　AB=DC=2m, AD=m+x
　　∵ AB+AD=6, ∴ 2m+m+x=6, m=,
　　S梯形AECD=(AD+EC)·DC=[(m+x)+x]·2m=m(m+2x)=,
　　其中3<x<6.
　　第二种情况，如图2，当tan∠DAE=时，在矩形ABCD中，AD//BC，
　　∴ ∠DAE=∠AEB， ∴ tan∠AEB=,
　　设CE=x,　 AB=CD=n, 则BE=2n,　 AD=2n+x,
　　∵ 矩形的周长为12，∴ AB+AD=6,
　　∴ n+2n+x=6, n=.
　　S梯形ABCD=(AD+EC)·DC
　　　　　　 =[(2n+x)+x]n
　　　　　　 =(n+x)n
　　　　　　 =
　　　　　　 =-x2+x+4, 其中0<x<6。
一次函数的图象和性质
　　一、知识要点：
　　1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
　　注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；
　　（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
　　2、图象：一次函数的图象是一条直线，
　　（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）
　　（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

　　3、性质：
　　1．图象的位置:

　　2．增减性
　　k>0时，y随x增大而增大
　　k<0时，y随x增大而减小
　　3．求一次函数解析式的方法
　　求函数解析式的方法主要有三种
　　一是由已知函数推导或推证
　　二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
　　三是用待定系数法求函数解析式。
　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
　　（1）利用一次函数的定义

　　构造方程组。
　　（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标（如例6），即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向（如例3）
　　（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程（如例4、例5）。
　　（4）利用题目已知条件直接构造方程（如例6）
　　二、例题举例：
　　例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：∵与成正比例，
　　设=a(a≠0的常数),
　　∵y=, =(k≠0的常数),
　　∴y=·a=akx，
　　其中ak≠0的常数，
　　∴y与x也成正比例。
　　例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
　　解：依题意，得
　　解得 n=-1，
　　∴=-3x-1,
　　=(3-)x, 　是正比例函数；
　　=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；
　　=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。
　　说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。
　　例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
　　分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。
　　解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，
　　∴k=-4,
　　∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，
　　∴b=18，
　　∴y=-4x+18。
　　说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。
　　例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
　　解：∵点B到x轴的距离为2，
　　∴点B的坐标为（0，±2），
　　设直线的解析式为y=kx±2,
　　∵直线过点A（-4，0），
　　∴0=-4k±2,
　　解得：k=±,
　　∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.
　　说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。
　　（1）图象是直线的函数是一次函数；
　　（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）；
　　（3）点B到x轴距离为2，则||=2；
　　（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；
　　（5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，
　　下面只需待定k即可。

　　例5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。
　　分析：自画草图如下：
　　解：设正比例函数y=kx，
　　一次函数y=ax+b，
　　∵点B在第三象限，横坐标为-2，
　　设B（-2，），其中<0，
　　∵=6，
　　∴AO·||=6，
　　∴=-2，
　　把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1
　　把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，
　　得
　　解得：
　　∴y=x, y=-x-3即所求。
　　说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；
　　（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用||=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3).
　　例6．已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。
　　分析：画草图如下：

　　则OA=13，=30，
　　则列方程求出点A的坐标即可。
　　解法1：设图象上一点A（x, y）满足

　　解得：；；；
　　代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.
　　∴y=-x或y=-x。
　　解法2：设图象上一点A（a, ka）满足

　　由（2）得=-,
　　代入（1），得(1+)·(-)=.
　　整理，得60+169k+60=0.
　　解得 k=-或k=-.
　　∴ y=-x或y=-x.
　　说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。　
　　例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=x+的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。
　　分析：由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。
　　解：∵点A、B分别是直线y=x+与x轴和y轴交点，
　　∴A（-3，0），B（0，），
　　∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=，AB=，
　　设点D的坐标为（x, 0），
　　（1）当点D在C点右侧，即x>1时，
　　∵∠BCD=∠ABD，
　　∠BDC=∠ADB，
　　∴△BCD∽△ABD，
　　∴=
　　∴=- - - - ①
　　∴=
　　∴8-22x+5=0
　　∴x1=, x2=,
　　经检验：x1=, x2=,都是方程①的根。
　　∵x=,不合题意，∴舍去。∴x=，
　　∴D点坐标为（, 0）。
　　设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，
　　∴
　　∴所求一次函数为y=-x+。
　　（2）若点D在点C左侧则x<1，
　　可证△ABC∽△ADB，
　　∴
　　∴- - - - ②
　　∴8-18x-5=0
　　∴x1=-, x2=,
　　经检验x1=-, x2=,都是方程②的根。
　　∵x2=不合题意舍去，∴x1=-,
　　∴D点坐标为（-, 0），
　　∴图象过B、D（-, 0）两点的一次函数解析式为y=4x+， s
　　综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+.
　　例8．已知：如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标。
　　解：直线y=x-3与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-3），
　　∴OA=6，OB=3，
　　∵OA⊥OB，CD⊥AB，
　　∴∠ODC=∠OAB，
　　∴cot∠ODC=cot∠OAB,即
　　∴OD===8.
　　∴点D的坐标为（0，8），
　　设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入
　　0=4k+8, 解得 k=-2
　　∴直线CD：y=-2x+8,
　　由　解得
　　∴点E的坐标为（，-）
　　说明：由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。
二次函数
一、知识讲解：
　　1、二次函数的概念
　　理解二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数。
　　若b=0，则y=ax2+c；
　　若c=0，则y=ax2+bx；
　　若b=c=0，则y=ax2。
　　以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般式。
　　2、二次函数y=ax2的图象
　　用描点法画出二次函数y=ax2的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
　　因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
　　3、二次函数y=ax2的性质
　　二次函数y=ax2（a≠0）的性质，见下表：
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0

向上
（0，0）
y轴
　　x>0时，y随x增大而增大；
　　x<0时，y随x增大而减小。
　　当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0

向下
（0，0）
y轴
　　x>0时，y随x增大而减小；
　　x<0时，y随x增大而增大。
　　当x=0时，y最大=0
　　4、二次函数y=ax2的图象的画法
　　用描点法画二次函数y=ax2的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确。
　　[例题分析]
　　例1、(1) 若是二次函数，求m的值。
　　(2)已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。
　　(1)分析：根据二次函数的定义，只要满足m2+m≠0且m2-m=2，就是二次函数。
　　解：
　　故若是二次函数，则m的值等于2。
　　(2)分析：抛物线开口向下，二次项系数小于零。
　　解：∵函数的图象是开口向下的抛物线，
　　∴此函数是二次函数，
　　∴
　　∴m=-2.
　　例2、函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1,b），求
　　（1）a和b的值；
　　（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
　　（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随着x的增大而增大；
　　（4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。
　　分析：（1）因为点（1,b）是抛物线y=ax2和y=2x-3的交点，所以x=1，y=b既满足y=2x-3，又满足y=ax2，于是可求出b和a的值；（2）将（1）中求得的a值代入y=ax2，即得抛物线的解析式。进而求得抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）根据a的符号和对称轴（或顶点坐标），可确定y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；（4）应在直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-2的草图，结合图形写出求三角形面积的计算过程。
　　解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，解得b=-1。
　　∴交点坐标是（1，-1），再将x=1, y=-1代入y=ax2，解得a=-1。∴a=-1, b=-1。
　　（2）抛物线的解析式为y=-x2顶点坐标为（0，0），对称轴为直线x=0（即y轴）如图
　　（3）当x<0时，y随x的增大而增大。
　　（4）设直线y=-2与抛物线y=-x2相交于A、B两点。
　　由
　　∴
　　∴S△AOB=.
　　例3、正方形ABCD的边长为a，经过AB边上一点P，作平行于对角线AC、BD的直线，分别与边BC、AD交于点Q、R，设△PQR的面积为y，AP=x，求y与x之间的函数关系式。
　　解：∵RP//DB，∴∠1=∠2
　　又∵正方形ABCD中，
　　∠2=45°=∠1，
　　∴AP=RA=x
　　同理：∴PB=QB=a-x，
　　又∵四边形RABQ为直角梯形，
　　∴SRABQ=(a-x+x)·a=a2
　　∴S△PAR=x2，S△PQB=(a-x)2，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∴S△PQR=S梯ABQR-S△PAR-S△PQB=a2-x2-(a-x)2
　　∴S△PQR=-x2+ax. (0<x<a)
　　[本节小结]
　　本节主要学习了二次函数的概念，研究了最简单的二次函数y=ax2的图象和性质。事实上，二次函数
y=ax2+bx+c的图象都是抛物线，把抛物线y=ax2向左（右）、上（下）平行移动就可得到一般二次函数
y=ax2+bx+c的图象。准确理解和掌握本节内容是学好一般二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的重要基础。
　　注意：y=ax2+bx+c是二次函数一定有a≠0。
二次函数
　　一、内容提要
　　（一）二次函数的解析式：
　　1．一般式：y=ax2+bx+c；其中 a≠0, a, b, c 为常数
　　2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
　　3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
　　（二）二次函数的图象：抛物线
　　（三）性质：
　　1．对称轴，顶点坐标：
　　2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
　　a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
　　3．增减性：（Ⅰ）a>0时，
　　当x时，y随x增大而减少
　　当x>时，y随x增大而增大
　　（Ⅱ）a<0时，
　　当x时，y随x增大而增大
　　当x>时，y随x增大而减小
　　4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，
　　（Ⅱ）a<0时，当x=时，
　　5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）
　　特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
　　6．抛物线与x轴的位置关系：
　　（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
　　（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）
　　（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）
　　二、典型例题：
　　例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
　　解：由题意得　解得 m=-1
　　∴y=-3x2+3x+6=,

　　开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。
　　说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
　　例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4ac的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
　　解：（1）由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，

　　又由<0，∴>0,
　　∴a、b同号，由a<0得b<0.
　　由抛物线与x轴有两个不同的交点，
　　∴Δ=b2-4ac>0
　　（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
　　∴当x=-1时，y=a-b+c>0
　　（3）由图象可知：当-3<x<1时y>0 ,
　　∴当x<-3或x>1时，y<0
　　例3．已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数，且满足-1<m<2,试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。
　　解：∵-1<m<2.
　　∴m-2<0, 抛物线开口向下，
　　又m+1>0, 抛物线与y轴的交点在x轴上方。
　　Δ=4m2-4(m-2)(m+1)
　　　=4m2-4(m2-m-2)
　　　=4m+8
　　　=4(m+1)+4>0.
　　∴抛物线与x轴有两个不同的交点。
　　说明：上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数y=(a≠0)除了解a的含义以外，还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标，即由c定点（0，c），c的正、负符号决定（或决定于）抛物线与y轴的交点在x轴上、下方，c的绝对值决定（或决定于）图象与y轴交点到x轴的距离。由y=0，得一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0).它有无实根由判别式Δ=b2-4ac来决定：
　　若>0，一元二次方程有两个实根x1,x2，抛物线与x轴有两交点坐标为:（，0）、(,0)
　　若，一元二次方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点。
　　若<0，一元二次方程无实根，抛物线与x轴无交点，
　　所以抛物线与x轴的交点情况与Δ=b2-4ac的值相关。
　　此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点（用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点）。
　　例4．抛物线y=2x2-4x+4的对称轴为x=2m-2n，函数的最小值是4n-3m,求实数m、n。
　　解：∵y=2x2-4x+4，
　　∴

　　∴ 解得
　　说明：此例是利用顶点坐标公式构造方程组，也可利用配方法先求出抛物线的顶点坐标，再构造方程组。
　　例5．已知二次函数y=ax2+ bx+c的图象与的图象的形状相同，开口方向相反，与直线y=x-2的两个交点的坐标为（1，n）和(m,1)，求这个二次函数的解析式及其顶点坐标。
　　分析：交点坐标即在抛物线上，又在直线上，所以即满足二次函数的解析式，又满足一次函数的解析式，由此可求出字母n、m。
　　解：依题意，得
　　∵y=x-2过(1,n)得n=-1,
　　y=x-2过(m,1)得m=3.
　　∴抛物线过（1，-1），（3，1）
　　∴ 解得
　　∴
　　∴这个二次函数的解析式为，顶点坐标为（1，-1）。
　　例6．已知抛物线y=x2+ bx+c与y轴交于点Q（0，-3），图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15，求函数解析式及对称轴。
　　分析：可由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值，这样只需待定“b”，即只需构造关于b的方程，由于已知条件给出图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15，，需用一元二次方程根与系数的关系，由此作为等量关系来构造方程，解题的关键是用含b的代数式表示。
　　解：由点Q（0，-3）知c=-3，则抛物线的解析式为
　　设图象与x轴交点的横坐标为，
　　∴是二次方程的两个根，
　　由根与系数的关系得：
　　∴
　　解得：
　　∴所求函数的解析式，

　　对称轴分别为.
　　由例5、例6可知用待定系数法求函数解析式一般有两条解题思路：
　　（1）把已知条件转化为图象上一点的坐标，把坐标代入解析式构造关于“待定系数”的方程；
　　（2）利用已知的等量关系直接构造关于“待定系数”的方程。
反比例函数及其图象
　　一、知识点讲解
　　1．反比例函数的概念
　　定义：一般地，函数y=(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0。
　　注意：
　　①反比例函数三种形式：反比例函数y=(k是常数，k≠0)可以写成y=k·x-1(k是常数，k≠0), 自变量x的指数是-1；也可写成xy=k(k是常数，k≠0)。
　　②注意k≠0的条件，否则不是反比例函数。
　　③反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两