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第16章《分式》知识要点复习
一、本章主要内容
本章主要内容是分式的概念；分式的基本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用．
★（一）概念
1、分式的概念：（注明：A、B都是整式，并且B中都含有字母）
说明：分式比分数更具有一般性，如分式 可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数。
2、分式的表示：（注明： B≠0才有意义）
3、分式的值：⑴时，A=0且B≠0；⑵时，A=B且B≠0。
4、最简分式：
★（二）分式的基本性质（类似分数的性质，运用类比数学思想）
1．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下几点：
（1）基本性质中的字母表示整数，（，M≠0）
（2）要特别强调M≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M就有等于零的可能性，因此，应用基本性质时，重点要考查M的值是否为零．
2. 运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
（三）分式运算（最后的结果要是最简分式，转化数学思想）
1、分式的乘除法
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
（1）约分，约分的目的是化简，关键是找分子和分母的最高公因式，即系数的最大公约数、
相同因式的最低次幂．
（2）如何找分子和分母的最高公因式
（3）分式的乘除法本质就是：①因式分解，②约分。
2、分式的加减法
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
（1）通分，通分关键是确定n个分式的公分母。
★（2）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，
这样的公分母叫最简公分母．
（3）分式的加减法本质就是：①通分， ②分解因式， ⑶约分。
3. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即；
★当n为正整数时， （
4.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：；(b≠0)
5.混合运算:运算顺序和以前一样。（能用运算率简算的可用运算率简算。）
★（四）解分式方程
1．解分式方程的本质就是将分式方程化成整式方程．
2.解分式方程基本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母，使方程化为整式方程。
3. 解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．（　增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 ）
★4.分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
5.列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
6.应用题常见几种类型： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
（五）分式知识的拓展---探索比例的性质(自学)
1.设a,b,c,d都不为0，并且，则a,b,c,d成比例。根据分式的基本性质及运算法则可以的到比例的性质。
（1）若（a,b,c,d都不为0），则有，成立。
（2）若（a,b,c,d都不为0），则有成立。
（3）若（a,b,c,d都不为0），则有（）成立。
（五）、范例学习，提高认知
例1：当x取什么数时，下列分式有意义？
（1）．
思路点拨：（1）令5x+1=0，相应求出x的值，然后x不取这个值时分式必有意义．（2）由于无论x取何值x2+2的值均大于零，因此，x取任何实数，此分式都有意义；（3）因为任何数的平方均为非负数，则m2≥0，所以m≠0即可．
例2：当x取什么数，下列分式的值为零？
（1）．
思路点拨：令分子等于零，由此求出x的值，此时应考虑分母是否等于零，若等于零，则分式无意义，应舍去．
例3：计算：
思路点拨：按法则进行分式乘除法运算，应注意，如果运算结果不是最简分式，一定要约分，对于分式的乘除混合运算，按乘除的顺序依次进行；当分子、分母是多项式时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化．
例4：计算：

思路点拨：（1）分式的加减运算就是把异分母的加减化成同分母的分式的加减，因此，在通分过程中找出最简公分母是关键．（2）对于分式的混合运算，应注意运算顺序．
例5：解分式方程：1-
思路点拨：解分式方程基本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母，使方程化为整式方程，但解后必须验根．
例6： 某水泵厂在一定天数内生产4 000台水泵，工人为了支援祖国现代化建设，每天比原计划增加25%，可提前10天完成任务，问原计划每天生产多少台？
思路点拨：工程问题常用的关系式是时间＝。
二、基础练习
考察一： 考查分式的概念
1．当x取什么数时，下列分式有意义？
（1）；（4）
2．当x取什么数，下列分式的值为零？
（1）；（3）
3. 当x取什么数，分式的值为1？
4. 当x取什么数，分式的值为正？为负呢？
5. 当x取什么数时，分式无意义？
考察二： 考查利用分式的性质进行运算
1.有科学计数法表示下列数：0.00000102；-0.0000035；204000000.
2. 计算：
(1) ;(2)
3．计算:
（1）；（2）；（3）
4．先化简，再求值：
，其中x=-2，y=3
考察三： 考查分式方程的应用（注意：验根）
1.解分式方程：（1）1- （2）=8
2.什么情况下与的值相等？
3．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因出现特殊情况多停一些，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度．
考察四：知识点拓展
1.分式的化简与求值
（1）已知，求的值。
（2）已知，求的值。
2.分式方程的解的讨论
当a为何值时，关于x的分式方程无解？
3.甲、乙两人两次同时在同一家粮店购买大米，两次大米的价格分别为a元／千克和b元／千克（a≠b）,甲每次买100千克大米，乙每次买100元大米。
（1）用含a、b的式子表示：甲两次购买大米共需副科 元，乙两次共
购买 千克大米。若甲两次购买大米的平均单价为Q1元／千克，乙两次购买大米的平均单价为Q2元／千克，则Q1= ，Q2= 。
（2）若规定谁两次购买粮的平均价格低，谁购买粮的方式就更合理，请你判断比较甲、乙两人的购粮方式，哪个更合理，并说明你的理由。